Кіріспе
Физикалық ғылымдардағы математикалық жеңілдету әдісі. Өлшемсіздендіру – физикалық шамаларды қамтитын теңдеуден физикалық өлшемдерді тиісті айнымалыларды алмастыру арқылы ішінара немесе толық жою. Бұл әдіс өлшенген бірліктерге байланысты мәселелерді жеңілдетуге және параметрлеуге мүмкіндік береді. Ол өлшемдік талдаумен тығыз байланысты. Кейбір физикалық жүйелерде "масштабтау" термині өлшемсіздендірумен мағынасы бірдей қолданылады, бұл кейбір шамалардың белгілі бір бірлікке қатысты жақсы өлшенетінін көрсетеді. Бұл бірліктер СИ бірліктері сияқты емес, жүйеге тән шамаларды білдіреді. Өлшемсіздендіру, теңдеудегі кеңейтілген шамаларды қарқынды шамаларға түрлендірумен бірдей емес, себебі соңғысы әлі де бірліктері бар айнымалыларға әкеледі. Өлшемсіздендіру жүйенің сипаттамалық қасиеттерін қалпына келтіре алады. Мысалы, егер жүйеде ішкі резонанстық жиілік, ұзындық немесе уақыт тұрақтылығы болса, өлшемсіздендіру осы мәндерді қалпына келтіруге мүмкіндік береді. Бұл әдіс ең алдымен дифференциалдық теңдеулермен сипатталатын жүйелер үшін пайдалы. Маңызды қолданыс – басқару жүйелерін талдау. Ең қарапайым сипаттамалық бірліктердің бірі – экспоненциалды өсуді бастан кешіретін жүйенің екі еселену уақыты немесе, керісінше, экспоненциалды ыдырауды бастан кешіретін жүйенің жартылай ыдырау периоды; одан да табиғирақ сипаттамалық бірліктер жұптары – орташа жас/орташа өмір сүру ұзақтығы, олар 2-ге қарағанда e негізіне сәйкес келеді. Өлшемсіздендірудің көптеген мысалдары дифференциалдық теңдеулерді жеңілдетуден туындайды. Себебі көптеген физикалық проблемалар дифференциалдық теңдеулер түрінде тұжырымдалады.
Nondimensionalization is the partial or full removal of physical dimensions from an equation involving physical quantities by a suitable substitution of variables. This technique can simplify and parameterize problems where measured units are involved. It is closely related to dimensional analysis. In some physical systems, the term scaling is used interchangeably with nondimensionalization, in order to suggest that certain quantities are better measured relative to some appropriate unit. These units refer to quantities intrinsic to the system, rather than units such as SI units. Nondimensionalization is not the same as converting extensive quantities in an equation to intensive quantities, since the latter procedure results in variables that still carry units. Nondimensionalization can also recover characteristic properties of a system. For example, if a system has an intrinsic resonance frequency, length, or time constant, nondimensionalization can recover these values. The technique is especially useful for systems that can be described by differential equations. One important use is in the analysis of control systems. One of the simplest characteristic units is the doubling time of a system experiencing exponential growth, or conversely the half life of a system experiencing exponential decay; a more natural pair of characteristic units is mean age/mean lifetime, which correspond to base e rather than base 2. Many illustrative examples of nondimensionalization originate from simplifying differential equations. This is because a large body of physical problems can be formulated in terms of differential equations. Consider the following:
List of dynamical systems and differential equations topics
List of partial differential equation topics
Differential equations of mathematical physics
Although nondimensionalization is well adapted for these problems, it is not restricted to them. An example of a non differential equation application is dimensional analysis; another example is normalization in statistics. Measuring devices are practical examples of nondimensionalization occurring in everyday life. Measuring devices are calibrated relative to some known unit. Subsequent measurements are made relative to this standard. Then, the absolute value of the measurement is recovered by scaling with respect to the standard.
Динамикалық жүйелер мен дифференциалдық теңдеулер тақырыптарының тізімі
Қиындықтарды шешуге арналған дифференциалдық теңдеулер тақырыптарының тізімі
Математикалық физиканың дифференциалдық теңдеулері
Nondimensionalization is the partial or full removal of physical dimensions from an equation involving physical quantities by a suitable substitution of variables. This technique can simplify and parameterize problems where measured units are involved. It is closely related to dimensional analysis. In some physical systems, the term scaling is used interchangeably with nondimensionalization, in order to suggest that certain quantities are better measured relative to some appropriate unit. These units refer to quantities intrinsic to the system, rather than units such as SI units. Nondimensionalization is not the same as converting extensive quantities in an equation to intensive quantities, since the latter procedure results in variables that still carry units. Nondimensionalization can also recover characteristic properties of a system. For example, if a system has an intrinsic resonance frequency, length, or time constant, nondimensionalization can recover these values. The technique is especially useful for systems that can be described by differential equations. One important use is in the analysis of control systems. One of the simplest characteristic units is the doubling time of a system experiencing exponential growth, or conversely the half life of a system experiencing exponential decay; a more natural pair of characteristic units is mean age/mean lifetime, which correspond to base e rather than base 2. Many illustrative examples of nondimensionalization originate from simplifying differential equations. This is because a large body of physical problems can be formulated in terms of differential equations. Consider the following:
List of dynamical systems and differential equations topics
List of partial differential equation topics
Differential equations of mathematical physics
Although nondimensionalization is well adapted for these problems, it is not restricted to them. An example of a non differential equation application is dimensional analysis; another example is normalization in statistics. Measuring devices are practical examples of nondimensionalization occurring in everyday life. Measuring devices are calibrated relative to some known unit. Subsequent measurements are made relative to this standard. Then, the absolute value of the measurement is recovered by scaling with respect to the standard.
Өлшемсіздендіру осы проблемалар үшін өте қолайлы болғанымен, олармен шектелмейді. Дифференциалдық емес теңдеулерге қолданылудың мысалы – өлшемдік талдау; статистикадағы тағы бір мысал – нормализация. Өлшеу құралдары – күнделікті өмірде кездесетін өлшемсіздендірудің практикалық мысалдары. Өлшеу құралдары белгілі бір бірлікке қатысты калибрленеді. Келесі өлшемдер осы стандартқа қатысты жүргізіледі. Содан кейін өлшеудің абсолютті мәні стандартқа қатысты масштабтау арқылы қалпына келтіріледі.
Nondimensionalization is the partial or full removal of physical dimensions from an equation involving physical quantities by a suitable substitution of variables. This technique can simplify and parameterize problems where measured units are involved. It is closely related to dimensional analysis. In some physical systems, the term scaling is used interchangeably with nondimensionalization, in order to suggest that certain quantities are better measured relative to some appropriate unit. These units refer to quantities intrinsic to the system, rather than units such as SI units. Nondimensionalization is not the same as converting extensive quantities in an equation to intensive quantities, since the latter procedure results in variables that still carry units. Nondimensionalization can also recover characteristic properties of a system. For example, if a system has an intrinsic resonance frequency, length, or time constant, nondimensionalization can recover these values. The technique is especially useful for systems that can be described by differential equations. One important use is in the analysis of control systems. One of the simplest characteristic units is the doubling time of a system experiencing exponential growth, or conversely the half life of a system experiencing exponential decay; a more natural pair of characteristic units is mean age/mean lifetime, which correspond to base e rather than base 2. Many illustrative examples of nondimensionalization originate from simplifying differential equations. This is because a large body of physical problems can be formulated in terms of differential equations. Consider the following:
List of dynamical systems and differential equations topics
List of partial differential equation topics
Differential equations of mathematical physics
Although nondimensionalization is well adapted for these problems, it is not restricted to them. An example of a non differential equation application is dimensional analysis; another example is normalization in statistics. Measuring devices are practical examples of nondimensionalization occurring in everyday life. Measuring devices are calibrated relative to some known unit. Subsequent measurements are made relative to this standard. Then, the absolute value of the measurement is recovered by scaling with respect to the standard.
Негізгі себептері
Егер маятник белгілі бір T периодымен тербеліп тұрса, онда осы жүйе үшін T периодына шаққанда тербеліске қатысты есептеулер жасау ыңғайлы. Бұл, белгілі бір мағынада, өлшеуді периодқа қатысты нормализациялау болып табылады. Жүйенің ішкі қасиеттеріне сәйкес жасалған өлшемдер, осыған ұқсас ішкі қасиеттері бар басқа жүйелерге де қолданылады. Бұл сондай-ақ, бір жүйенің әртүрлі нұсқаларындағы ортақ қасиеттерін салыстыруға мүмкіндік береді. Мөлшерсіздендіру жүйенің сипаттамалық бірліктерін жүйелі түрде анықтайды, жүйенің ішкі қасиеттері туралы алдын ала білімге көп сүйенбейді (және жүйенің сипаттамалық бірліктерін табиғаттағы негізгі бірліктермен шатастырмау керек). Шындығында, мөлшерсіздендіру жүйені талдау үшін қолданылуға тиіс параметрлерді ұсына алады. Дегенмен, жүйені дұрыс сипаттайтын теңдеуден бастау қажет.
(one should not confuse characteristic units of a system with natural units of nature). In fact, nondimensionalization can suggest the parameters which should be used for analyzing a system. However, it is necessary to start with an equation that describes the system appropriately.
Ауыстырулар
Қарапайымдық үшін, белгілі бір жүйе екі айнымалымен сипатталатынын болжайық: тәуелді айнымалы x және тәуелсіз айнымалы t, мұнда x – t функциясы. x және t екеуі де өлшемдері бар шамаларды білдіреді. Бұл екі айнымалыны масштабтау үшін, x және t бірліктерімен сәйкес xс және tс деп аталатын екі ішкі өлшем бірлігі бар деп есептейік, осы шарттар орындалады:
Бұл теңдеулер x және t-ні өлшемсіздендіру үшін қолданылады. Егер бастапқы жүйені сипаттау үшін дифференциалды операторлар қажет болса, олардың масштабталған аналогтары өлшемсіз дифференциалды операторларға айналады.
Ауыстыру кезеңі
x және t айнымалыларын олардың масштабталған шамаларымен алмастырыңыз. Теңдеу мына түрге енеді:
Бұл жаңа теңдеу өлшемсіз емес, бірақ өлшемдері бар барлық айнымалылар коэффициенттерде бөлініп көрсетілген. Ең жоғары дәрежелі мүшенің коэффициентіне бөлу арқылы теңдеу мынадай болады:
Енді коэффициенттерді қалыпқа келтіру үшін xc және tc шамаларын анықтау қажет. Екі еркін параметр болғандықтан, ең көп дегенде екі коэффициентті бірлікке тең етуге болады.
Таңбалық бірліктерді қалпына келтіру мысалдары
Түрлі жүйелерді бірінші немесе екінші реттік жүйелер ретінде жуықтауға болады. Оларға механикалық, электрлік, сұйықтық, жылулық және бұрылу жүйелері жатады. Мұның себебі, осы мысалдардың әрқайсысындағы негізгі физикалық шамалар бірінші және екінші реттік туындылар арқылы байланысқан.
Статистикалық аналогтар
Статистикада ұқсас процесс әдетте айырмашылықты (қашықтықты) масштабтау факторына (статистикалық таралудың өлшеміне) бөлу болып табылады, нәтижесінде өлшемсіз сан шығады, ол нормализация деп аталады. Көбінесе бұл қателерді немесе қалдықтарды стандартты ауытқуға немесе үлгілік стандартты ауытқуға бөлу арқылы стандарттық балдар мен студенттелген қалдықтар алынады.