Введение

Техника математического упрощения в физических науках

Неразмерность – это частичное или полное исключение физических размерностей из уравнения, содержащего физические величины, посредством подходящей подстановки переменных. Этот метод позволяет упростить и параметризовать задачи, в которых используются измеряемые единицы. Он тесно связан с размерным анализом. В некоторых физических системах термин масштабирование используется как синоним неразмерности, чтобы подчеркнуть, что определенные величины лучше измерять относительно подходящей единицы. Эти единицы относятся к величинам, внутренним для системы, а не к стандартным единицам, таким как СИ. Неразмерность отличается от преобразования объемных величин в уравнении в интенсивные величины, поскольку последняя процедура приводит к переменным, сохраняющим размерность. Неразмерность также может восстанавливать характерные свойства системы. Например, если система обладает собственной резонансной частотой, длиной или характерным временем, неразмерность позволяет восстановить эти значения. Этот метод особенно полезен для систем, описываемых дифференциальными уравнениями. Важное применение – анализ систем управления. Одной из простейших характеристических единиц является время удвоения для системы, испытывающей экспоненциальный рост, или, наоборот, период полураспада для системы, испытывающей экспоненциальное убывание; более естественной парой характеристических единиц является средний возраст/среднее время жизни, соответствующие основанию *e* вместо основания 2. Многие иллюстративные примеры неразмерности происходят из упрощения дифференциальных уравнений. Это обусловлено тем, что значительное количество физических задач может быть сформулировано в терминах дифференциальных уравнений. Рассмотрим следующее:

Список тем по динамическим системам и дифференциальным уравнениям
Список тем по уравнениям в частных производных
Дифференциальные уравнения математической физики

Хотя неразмерность хорошо подходит для решения этих задач, она не ограничивается ими. Примером применения, не связанного с дифференциальными уравнениями, является размерный анализ; другим примером является нормализация в статистике. Измерительные приборы – это практические примеры неразмерности, встречающиеся в повседневной жизни. Измерительные приборы калибруются относительно известной единицы. Последующие измерения выполняются относительно этого стандарта. Затем абсолютное значение измерения восстанавливается путем масштабирования относительно стандарта.

Обоснование

Предположим, маятник колеблется с определенным периодом T. Для такой системы целесообразно выполнять вычисления, относящиеся к колебаниям относительно T. В некотором смысле это является нормализацией измерения по периоду. Измерения, выполненные относительно внутреннего свойства системы, применимы и к другим системам, обладающим тем же внутренним свойством. Это также позволяет сравнивать общие характеристики различных реализаций одной и той же системы. Безразмерность систематически определяет характерные единицы системы, которые следует использовать, не опираясь в значительной степени на априорные знания о внутренних свойствах системы (не следует путать характерные единицы системы с естественными единицами). Фактически, безразмерность может подсказать параметры, которые следует использовать для анализа системы. Однако необходимо начинать с уравнения, адекватно описывающего систему.

Замены

Предположим для простоты, что определенная система характеризуется двумя переменными – зависимой переменной x и независимой переменной t, где x является функцией t. И x, и t представляют величины, имеющие размерности. Для масштабирования этих двух переменных предположим, что существуют две фундаментальные единицы измерения xc и tc, имеющие те же размерности, что и x и t соответственно, при которых выполняются следующие условия:

Эти уравнения используются для замены x и t при приведении к безразмерному виду. Если для описания исходной системы требуются дифференциальные операторы, их масштабированные аналоги становятся безразмерными дифференциальными операторами.

Шаг замены

Замените переменные x и t на их масштабированные значения. Уравнение примет вид

Это новое уравнение не безразмерно, хотя все переменные с размерностью выделены в коэффициенты. Разделив уравнение на коэффициент члена с наивысшей степенью, получим

Теперь необходимо определить значения xc и tc так, чтобы коэффициенты стали нормированными. Поскольку имеется два свободных параметра, не более двух коэффициентов можно приравнять к единице.

Примеры восстановления характеристических единиц

Различные системы могут быть аппроксимированы как системы первого или второго порядка. К ним относятся механические, электрические, гидравлические, тепловые и крутильные системы. Это объясняется тем, что основные физические величины, задействованные в каждом из этих примеров, связаны посредством производных первого и второго порядка.

Статистические аналоги

В статистике аналогичный процесс обычно заключается в делении разности (расстояния) на масштабный коэффициент (меру статистической дисперсии), что приводит к безразмерной величине, называемой нормализацией. Чаще всего это деление ошибок или остатков на стандартное отклонение или выборочное стандартное отклонение, соответственно, в результате чего получаются стандартизованные значения и студентизированные остатки.