Кіріспе
Математикада Фробен тобы — шекті жиынға транзитивті пермутация тобы, онда тривиалды емес ешқандай элемент бірден көп нүктені өзгеріссіз қалдырмайды, ал кейбір тривиалды емес элемент бір нүктені өзгеріссіз қалдырады. Олар Ф. Г. Фробеньус атымен аталады.
fixes more than one point and some non trivial element fixes a point. They are named after F. G. Frobenius.
Құрылымы
G - X жиынының пермутацияларынан тұратын Фробен тобы деп есептейік. X нүктесін бекітетін G-нің H кіші тобы Фробен комплементі деп аталады. Бірлік элементі және H-нің ешқандай конъюгатында жоқ барлық элементтер бірге Фробен ядросы K деп аталатын қалыпты кіші топты құрайды. (Бұл теорема; бұл теореманың дәлелі әлі де сипаттамалық теорияны қолданбастан жоқ, қараңыз.) Фробен тобы G – K және H-нің жартылай тікелей көбейтіндісі:
Фробен ядросы да, Фробен комплементі де өте шектеулі құрылымға ие. [Автор аты] Фробен ядросы K-нің нильпотентті топ екенін дәлелдеді. Егер H жұп ретпен болса, онда K абельдік болады. Фробен комплементі H-ның қасиеті – оның реті 2 жай санның көбейтіндісіне тең болатын әрбір кіші тобы циклдік болады; бұл оның Силоу кіші топтары циклдік немесе жалпыланған кватерниондық топтар екенін білдіреді. Барлық Силоу кіші топтары циклдік болатын кез келген топ Z тобы деп аталады, және әсіресе метациклдік топ болуы керек: яғни, ол екі циклдік топтың кеңейтілуі. Егер Фробен комплементі H шешілмейтін болса, онда Зассенхаус оның SL(2,5) және 30-ға бөлінетін реті бар метациклдік топтың көбейтіндісі болып табылатын 1 немесе 2 индексті қалыпты кіші тобы бар екенін көрсетті. Атап айтқанда, егер Фробен комплементі өзінің туынды кіші тобымен сәйкес келсе, онда ол SL(2,5)-пен изоморфты болады. Егер Фробен комплементі H шешілетін болса, онда оның қалыпты метациклді кіші тобы бар, ал бөлігі 4 нүктедегі симметриялық топтың кіші тобы болады. Шекті топ – егер және тек қана егер ол шекті өріс үстінде адал, шекті өлшемді бейнелеуге ие болса, онда бірлік емес топ элементтері нөлдік емес бекітілмеген нүктелері жоқ сызықтық түрлендірулерге сәйкес келеді. Фробен ядросы K-ні G бірегей анықтайды, өйткені ол Fitting кіші тобы, ал Фробен комплементі Schur-Zassenhaus теоремасы бойынша конъюгацияға дейін бірегей анықталады. Әсіресе, шекті топ G ең көп дегенде бір жолмен Фробен тобы болады.
Both the Frobenius kernel and the Frobenius complement have very restricted structures. proved that the Frobenius kernel K is a nilpotent group. If H has even order then K is abelian. The Frobenius complement H has the property that every subgroup whose order is the product of 2 primes is cyclic; this implies that its Sylow subgroups are cyclic or generalized quaternion groups. Any group such that all Sylow subgroups are cyclic is called a Z group, and in particular must be a metacyclic group: this means it is the extension of two cyclic groups. If a Frobenius complement H is not solvable then Zassenhaus showed that it
has a normal subgroup of index 1 or 2 that is the product of SL(2,5) and a metacyclic group of order coprime to 30. In particular, if a Frobenius complement coincides with its derived subgroup, then it is isomorphic with SL(2,5). If a Frobenius complement H is solvable then it has a normal metacyclic subgroup such that the quotient is a subgroup of the symmetric group on 4 points. A finite group is a Frobenius complement if and only if it has a faithful, finite dimensional representation over a finite field in which non identity group elements correspond to linear transformations without nonzero fixed points. The Frobenius kernel K is uniquely determined by G as it is the Fitting subgroup, and the Frobenius complement is uniquely determined up to conjugacy by the Schur Zassenhaus theorem. In particular a finite group G is a Frobenius group in at most one way.