Введение

В математике, группа Фробениуса — это транзитивная группа перестановок конечного множества, такая, что ни один нетривиальный элемент не фиксирует более одной точки, и при этом существует нетривиальный элемент, фиксирующий точку. Они названы в честь Ф. Г. Фробениуса.

Структура

Предположим, что G — это группа Фробениуса, состоящая из перестановок множества X. Подгруппа H группы G, фиксирующая точку множества X, называется дополнением Фробениуса. Единичный элемент вместе со всеми элементами, не входящими ни в один сопряженный класс H, образуют нормальную подгруппу, называемую ядром Фробениуса K. (Это теорема, установленная ; до сих пор не существует доказательства этой теоремы, не использующего теорию характеров, хотя см. .) Группа Фробениуса G является полупрямым произведением K и H: как ядро Фробениуса, так и дополнение Фробениуса имеют весьма ограниченную структуру. Доказано, что ядро Фробениуса K является нильпотентной группой. Если H имеет четный порядок, то K — абелева. Дополнение Фробениуса H обладает свойством, что каждая подгруппа, порядок которой является произведением двух простых чисел, является циклической; это влечет за собой, что ее силовские подгруппы являются циклическими или обобщенными группами кватернионов. Любая группа, в которой все силовские подгруппы являются циклическими, называется Z-группой и, в частности, должна быть метациклической группой: это означает, что она является расширением двух циклических групп. Если дополнение Фробениуса H не разрешимо, то Зассенхаус показал, что оно имеет нормальную подгруппу индекса 1 или 2, которая является произведением SL(2,5) и метациклической группы порядка, взаимно простого с 30. В частности, если дополнение Фробениуса совпадает со своей производной подгруппой, то оно изоморфно SL(2,5). Если дополнение Фробениуса H разрешимо, то оно имеет нормальную метациклическую подгруппу, такую что факторгруппа является подгруппой симметрической группы на 4 элементах. Конечная группа является дополнением Фробениуса тогда и только тогда, когда она имеет верное конечномерное представление над конечным полем, в котором неединичным элементам группы соответствуют линейные преобразования без ненулевых неподвижных точек. Ядро Фробениуса K однозначно определяется группой G, поскольку это подгруппа Фиттинга, а дополнение Фробениуса однозначно определяется с точностью до сопряжения теоремой Шура — Зассенхауса. В частности, конечная группа G является группой Фробениуса не более чем одним способом.