Кіріспе
Эмиль Л. Матье зерттеген дифференциалдық теңдеудің шешімдері Матье функциялары деп аталады, кейде оларды бұрыштық Матье функциялары дейді. Олар а және q нақты мәнді параметрлер болатын Матье дифференциалдық теңдеуінің шешімдері болып табылады. x-ке π/2 қосып, q параметрінің таңбасын өзгертуге болады, сондықтан әдетте q ≥ 0 деп қарастырылады. Бұл функцияларды алғаш рет Эмиль Леонард Матье енгізген, ол дірілдегіш эллипстік барабан табандарын зерттеу кезінде олармен кездескен. Олар оптика, кванттық механика және жалпы салыстырмалылық теориясы сияқты физикалық ғылымдардың көптеген салаларында қолданылады. Матье функциялары көбінесе периодтық қозғалысқа байланысты есептерде немесе эллипстік симметрияға ие болған жартылай дифференциалдық теңдеулердің (ЖДТ) шекті мәселелерін талдау кезінде пайда болады.
In mathematics, Mathieu functions, sometimes called angular Mathieu functions, are solutions of Mathieu's differential equation
where a, q are real valued parameters. Since we may add π/2 to x to change the sign of q, it is a usual convention to set q ≥ 0. They were first introduced by Émile Léonard Mathieu, who encountered them while studying vibrating elliptical drumheads. They have applications in many fields of the physical sciences, such as optics, quantum mechanics, and general relativity. They tend to occur in problems involving periodic motion, or in the analysis of partial differential equation (PDE) boundary value problems possessing elliptic symmetry.
Тұрақтылық
Матье теңдеуі екі параметрге ие. Флоке теориясы бойынша (келесі бөлімді қараңыз), параметрлердің көптеген мәндері үшін кез келген шешім нөлге жақындайды немесе шексіздікке таралады. Матье теңдеуін былай параметрлеуге болады: , мұнда тұрақтылық және тұрақсыздық аймақтары қисықтармен бөлінеді.
Екінші түрі
Матье теңдеуі екінші реттік дифференциалдық теңдеу болғандықтан, екі сызықтық тәуелсіз шешім құрастыруға болады. Флоке теориясы бойынша, егер шамасы сипаттамалық санға тең болса, осы шешімдердің бірі периодты, ал екіншісі периодты емес болуы мүмкін. Периодты шешім – және , бұл бірінші типтегі толық реттік Матье функциясы деп аталады. Периодты емес шешім тиісінше және деп белгіленеді және екінші типтегі (толық реттік) Матье функциясы деп аталады. Периодты емес шешімдер тұрақсыз, яғни олар өседі. Өзгертілген Матье функцияларына сәйкес келетін екінші шешімдер табиғи түрде және деп анықталады.
The second solutions corresponding to the modified Mathieu functions and are naturally defined as and .
Екінші түрі
Екінші түрдегі Матье функцияларын көрсетуге бірнеше тәсіл бар. Бір түрде көрсету Бессел функциялары арқылы:
мұндағы , және – бірінші және екінші түрдегі Бессел функциялары.
Өзгертілген функциялар
Модификацияланған Матье функцияларын сандық бағалаудың дәстүрлі тәсілі Бессел функцияларының көбейтіндісі түріндегі қатар арқылы жүзеге асырылады. және шамалары үлкен болғанда, қатардың түрін алып тастау қателіктеріне жол бермеу үшін сақтап таңдау қажет.
Қасиеттері
Матье функцияларын қамтитын салыстырмалы түрде аз аналитикалық өрнектер мен тепе-теңдіктер бар. Сонымен қатар, көптеген басқа арнайы функциялардан өзгеше, Матье теңдеуінің шешімдерін гипергеометриялық функциялар арқылы жалпы жағдайда жазуға болмайды. Бұл Матье теңдеуін алгебралық түрге түрлендіру арқылы көрінеді, айнымалыны өзгерту арқылы:
Бұл теңдеу шексіздікте иррационалды ерекше нүктеге ие болғандықтан, оны гипергеометриялық типтегі теңдеуге түрлендіруге болмайды. Өңделген Матье функциялары және үшін, олар өте баяу өзгеретін периодтық функциялар сияқты мінез-құлық көрсетеді. Әрі қарай, және үшін Фурье кеңейтулерінен алынған және факторларына сілтеме жасалуы мүмкін (нақты бейнелеу және есептеу қараңыз). Олар және шамалынан тәуелді, бірақ -дан тәуелсіз.