Введение
Решения дифференциального уравнения, изучаемого Эмилем Л. Матье
In mathematics, Mathieu functions, sometimes called angular Mathieu functions, are solutions of Mathieu's differential equation
where a, q are real valued parameters. Since we may add π/2 to x to change the sign of q, it is a usual convention to set q ≥ 0. They were first introduced by Émile Léonard Mathieu, who encountered them while studying vibrating elliptical drumheads. They have applications in many fields of the physical sciences, such as optics, quantum mechanics, and general relativity. They tend to occur in problems involving periodic motion, or in the analysis of partial differential equation (PDE) boundary value problems possessing elliptic symmetry.
В математике функции Матье, иногда называемые угловыми функциями Матье, являются решениями дифференциального уравнения Матье, где a и q – вещественные параметры. Поскольку добавление π/2 к x меняет знак q, обычно полагают, что q ≥ 0. Впервые они были введены Эмилем Леонаром Матье, который столкнулся с ними при изучении колебаний эллиптических мембран барабанов. Они находят применение во многих областях физических наук, таких как оптика, квантовая механика и общая теория относительности. Они часто возникают в задачах, связанных с периодическим движением, или при анализе краевых задач для уравнений в частных производных (УЧП), обладающих эллиптической симметрией.
In mathematics, Mathieu functions, sometimes called angular Mathieu functions, are solutions of Mathieu's differential equation
where a, q are real valued parameters. Since we may add π/2 to x to change the sign of q, it is a usual convention to set q ≥ 0. They were first introduced by Émile Léonard Mathieu, who encountered them while studying vibrating elliptical drumheads. They have applications in many fields of the physical sciences, such as optics, quantum mechanics, and general relativity. They tend to occur in problems involving periodic motion, or in the analysis of partial differential equation (PDE) boundary value problems possessing elliptic symmetry.
Стабильность
Уравнение Матье имеет два параметра. Для почти всех значений параметров, согласно теории Флоке (см. следующий раздел), любое решение либо стремится к нулю, либо неограниченно возрастает. Зададим уравнение Матье в виде , где области устойчивости и неустойчивости разделены кривыми.
Второй вид
Поскольку уравнение Матье является дифференциальным уравнением второго порядка, можно построить два линейно независимых решения. Теория Флоке утверждает, что если равно характеристическому числу, то одно из этих решений можно принять за периодическое, а другое – за непериодическое. Периодическое решение является одним из и , называемым функцией Матье первого рода интегрального порядка. Непериодическое решение обозначается либо и , соответственно, и называется функцией Матье второго рода (интегрального порядка). Непериодические решения неустойчивы, то есть они расходятся при стремлении к бесконечности. Вторые решения, соответствующие модифицированным функциям Матье и , естественно определяются как и .
The second solutions corresponding to the modified Mathieu functions and are naturally defined as and .
Второй вид
Существует несколько способов представления функций Матье второго рода. Одно из представлений выражается через функции Бесселя:
где , и — функции Бесселя первого и второго рода соответственно.
Модифицированные функции
Традиционный подход к численному вычислению модифицированных функций Матье заключается в использовании ряда произведений функций Бесселя. При больших значениях и , форму ряда необходимо выбирать с осторожностью, чтобы избежать ошибок, связанных с вычитанием.
Свойства
Есть относительно мало аналитических выражений и тождеств, связанных с функциями Матье. Более того, в отличие от многих других специальных функций, решения уравнения Матье в общем случае нельзя выразить через гипергеометрические функции. Это можно увидеть, преобразовав уравнение Матье в алгебраическую форму, используя замену переменной :
Поскольку это уравнение имеет нерегулярную сингулярную точку в бесконечности, его нельзя привести к уравнению гипергеометрического типа. При и при модифицированные функции Матье обычно ведут себя как затухающие периодические функции. Далее факторы из разложений Фурье для и могут упоминаться (см. Явное представление и вычисление). Они зависят от и , но не зависят от .