Топтық теориядағы Hall топшалары: шекті топтың ретіне жақын жай санмен бөлінетін топша. Sylow топшалары – Hall топшаларының бір түрі. Математикалық анықтамалар.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикада, әсіресе топтар теориясында, шекті топтың Холл подтобы G – бұл оның индексімен өзара жай (құрама емес) болатын реті бар подтоп. Оларды топтар теориясының зерттеушісі енгізді.
In mathematics, specifically group theory, a Hall subgroup of a finite group G is a subgroup whose order is coprime to its index. They were introduced by the group theorist .
Мысалдар
Кез келген топтың Силоу кіші тобы Холл кіші тобы болып табылады. 12-ші реттік А4 алмастыру тобы шешіледі, бірақ 6 саны 12-ге бөлінгенмен, 6-шы реттік кіші топтары жоқ, бұл Холл теоремасын (төменде қараңыз) шешілетін топтың реттігінің барлық бөлгіштеріне кеңейтуге болмайтындығын көрсетеді. Егер G = A5, 60 реттік жалғыз қарапайым топ болса, онда 15 және 20 G реттігінің Холл бөлгіштері болып табылады, бірақ G-де осы реттіктердегі кіші топтар жоқ. 168 реттік қарапайым топтың 24 реттік Холл кіші топтарының екі түрлі конъюгация классы бар (бірақ олар G-нің сыртқы автоморфизмі арқылы байланысты). 660 реттік қарапайым топта 12 реттік екі Холл кіші тобы бар, олар тіпті изоморфты емес (сондықтан, әрине, сыртқы автоморфизм кезінде де конъюгацияланбайды). 4-ші реттік Силоу 2 кіші тобының нормализаторы 12-ші реттік А4 алмастыру тобына изоморфты, ал 2-ші немесе 3-ші реттік кіші тобының нормализаторы 12-ші реттік диэдрлік топқа изоморфты.
Any Sylow subgroup of a group is a Hall subgroup. The alternating group A4 of order 12 is solvable but has no subgroups of order 6 even though 6 divides 12, showing that Hall's theorem (see below) cannot be extended to all divisors of the order of a solvable group. If G = A5, the only simple group of order 60, then 15 and 20 are Hall divisors of the order of G, but G has no subgroups of these orders. The simple group of order 168 has two different conjugacy classes of Hall subgroups of order 24 (though they are connected by an outer automorphism of G). The simple group of order 660 has two Hall subgroups of order 12 that are not even isomorphic (and so certainly not conjugate, even under an outer automorphism). The normalizer of a Sylow 2 subgroup of order 4 is isomorphic to the alternating group A4 of order 12, while the normalizer of a subgroup of order 2 or 3 is isomorphic to the dihedral group of order 12.
Холл теоремасының керісі
Әрбір π жай сандар жиыны үшін Hall π кіші тобы бар кез келген шекті топ шешіледі. Бұл Бернсайд теоремасының жалпылауы болып табылады, яғни жай сандар p және q үшін paqb түріндегі тәртібі бар кез келген топ шешіледі, себебі Сайлоу теоремасы барлық Hall кіші топтарының бар екенін көрсетеді. Алайда, бұл (қазіргі таңда) Бернсайд теоремасының басқа бір дәлелін ұсынбайды, өйткені осы кері теореманы дәлелдеу үшін Бернсайд теоремасы қолданылады.
Any finite group that has a Hall π subgroup for every set of primes π is solvable. This is a generalization of Burnside's theorem that any group whose order is of the form paqb for primes p and q is solvable, because Sylow's theorem implies that all Hall subgroups exist. This does not (at present) give another proof of Burnside's theorem, because Burnside's theorem is used to prove this converse.
Силов жүйелері
Силоу жүйесі – әрбір жай сан p үшін Силоу p-подтоптары Sp жиынтығы, мұнда барлық p және q үшін SpSq = SqSp. Егер Силоу жүйесі болса, онда π жиынындағы p үшін Sp топтарымен туындаған подтоп – Hall π подтобы болады. Холл теоремасының дәлірек формулировкасы кез келген шешілетін топтың Силоу жүйесі болатынын және кез келген екі Силоу жүйесінің байланысты болатынын айтады.
A Sylow system is a set of Sylow p subgroups Sp for each prime p such that SpSq = SqSp for all p and q. If we have a Sylow system, then the subgroup generated by the groups Sp for p in π is a Hall π subgroup. A more precise version of Hall's theorem says that any solvable group has a Sylow system, and any two Sylow systems are conjugate.
Нормальды Холл кіші топтары
Кез келген нормал Холл топшасы H шекті топ G үшін толықтыруға ие, яғни G-де H-мен тривиальды түрде қиылысатын K топшасы бар және HK = G (осылайша G, H және K-нің жартылай тура өнімі болады). Бұл Шур-Зассенхаус теоремасы.
Any normal Hall subgroup H of a finite group G possesses a complement, that is, there is some subgroup K of G that intersects H trivially and such that HK = G (so G is a semidirect product of H and K). This is the Schur–Zassenhaus theorem.