Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
В математике, в частности в теории групп, подгруппа Холла конечной группы G — это подгруппа, порядок которой взаимно прост с её индексом. Они были введены теоретиком групп .
In mathematics, specifically group theory, a Hall subgroup of a finite group G is a subgroup whose order is coprime to its index. They were introduced by the group theorist .
Примеры
Любая силова подгруппа группы является подгруппой Холла. Чередующаяся группа A4 порядка 12 разрешима, но не имеет подгрупп порядка 6, хотя 6 делит 12, что показывает, что теорему Холла (см. ниже) нельзя распространить на все делители порядка разрешимой группы. Если G = A5, единственная простая группа порядка 60, то 15 и 20 являются делителями Холла порядка G, но G не имеет подгрупп этих порядков. Простая группа порядка 168 имеет два различных класса сопряженности подгрупп Холла порядка 24 (хотя они связаны внешним автоморфизмом G). Простая группа порядка 660 имеет две подгруппы Холла порядка 12, которые даже не изоморфны (и, следовательно, тем более не сопряжены, даже посредством внешнего автоморфизма). Нормализатор силовой 2-подгруппы порядка 4 изоморфен чередующейся группе A4 порядка 12, а нормализатор подгруппы порядка 2 или 3 изоморфен диэдрической группе порядка 12.
Any Sylow subgroup of a group is a Hall subgroup. The alternating group A4 of order 12 is solvable but has no subgroups of order 6 even though 6 divides 12, showing that Hall's theorem (see below) cannot be extended to all divisors of the order of a solvable group. If G = A5, the only simple group of order 60, then 15 and 20 are Hall divisors of the order of G, but G has no subgroups of these orders. The simple group of order 168 has two different conjugacy classes of Hall subgroups of order 24 (though they are connected by an outer automorphism of G). The simple group of order 660 has two Hall subgroups of order 12 that are not even isomorphic (and so certainly not conjugate, even under an outer automorphism). The normalizer of a Sylow 2 subgroup of order 4 is isomorphic to the alternating group A4 of order 12, while the normalizer of a subgroup of order 2 or 3 is isomorphic to the dihedral group of order 12.
Обратная теорема Холла
Любая конечная группа, имеющая подгруппу Холла для каждого набора простых чисел π, является разрешимой. Это обобщение теоремы Бернсайда о том, что любая группа порядка вида paqb, где p и q — простые числа, разрешима, поскольку теорема Силоу гарантирует существование всех подгрупп Холла. Однако это не даёт (на данный момент) альтернативного доказательства теоремы Бернсайда, так как сама теорема Бернсайда используется для доказательства этого утверждения, являющегося её обратным.
Any finite group that has a Hall π subgroup for every set of primes π is solvable. This is a generalization of Burnside's theorem that any group whose order is of the form paqb for primes p and q is solvable, because Sylow's theorem implies that all Hall subgroups exist. This does not (at present) give another proof of Burnside's theorem, because Burnside's theorem is used to prove this converse.
Силовые системы
Силовая система — это множество силовских p-подгрупп Sp для каждого простого числа p, таких что SpSq = SqSp для всех p и q. Если задана силовая система, то подгруппа, порожденная группами Sp для p из π, является π-подгруппой Холла. Более точная формулировка теоремы Холла утверждает, что любая разрешимая группа имеет силовую систему, и любые две силовские системы сопряжены.
A Sylow system is a set of Sylow p subgroups Sp for each prime p such that SpSq = SqSp for all p and q. If we have a Sylow system, then the subgroup generated by the groups Sp for p in π is a Hall π subgroup. A more precise version of Hall's theorem says that any solvable group has a Sylow system, and any two Sylow systems are conjugate.
Нормальные подгруппы Холла
Любая нормальная подгруппа Холла H конечной группы G имеет дополнение, то есть существует подгруппа K группы G, пересекающая H тривиально и такая, что HK = G (следовательно, G является полупрямым произведением H и K). Это теорема Шур–Зассенхауза.
Any normal Hall subgroup H of a finite group G possesses a complement, that is, there is some subgroup K of G that intersects H trivially and such that HK = G (so G is a semidirect product of H and K). This is the Schur–Zassenhaus theorem.