Луи Ниренберг: Ең көрнекті математиктердің бірі

Кіріспе

Канадалық-американдық математик (1925–2020)

Луис Ниренберг (28 ақпан 1925 – 26 қаңтар 2020) – канадалық-американдық математик, 20 ғасырдың ең көрнекті математиктерінің бірі саналады. Оның жұмысының басым бөлігі жартылай дифференциалдық теңдеулер саласында болды. Оның көптеген еңбектері қазір осы саланың негізгі қағидалары ретінде танылады, мысалы, екінші реттік параболалық жартылай дифференциалдық теңдеулерге арналған күшті максимум принципі және күрделі геометриядағы Ньюландер-Ниренберг теоремасы. Ол геометриялық талдау саласындағы негізін қалаушы тұлға ретінде қарастырылады, оның көптеген еңбектері күрделі талдау және дифференциалдық геометрияны зерттеумен тығыз байланысты.

Математикалық жетістіктер

Ниренберг есімді ғалым, әсіресе Шмуэль Агмон және Аврон Дуглиспен бірлесіп жұмыс істегені үшін танымал, олар бұрын екінші реттік эллиптік дербес дифференциалдық теңдеулер үшін түсінілген Шаудер теориясын эллиптік жүйелердің жалпы жағдайына дейін кеңейтті. Базилис Гидас пен Вэй Мин Нимен бірге ол дифференциалдық теңдеулердің көптеген шешімдерінің симметриясын дәлелдеу үшін максимум принципін жаңаша қолданды. BMO функциялық кеңістігін зерттеуді Ниренберг пен Фриц Джон 1961 жылы бастады; Джон оны бастапқыда серпімді материалдарды зерттеуде енгізгенімен, ол сондай-ақ мартингалдар деп аталатын кездейсоқ ойындарға да қолданылды. 1982 жылы Луис Каффарелли мен Роберт Конмен бірлесіп жасаған жұмысы математикалық сұйықтық механикасы саласында Навье-Стокстың болуы мен тегіс болуына маңызды үлес қосты. Оның басқа да жетістіктеріне екі өлшемде Минковский мәселесін шешу, Гаглиардо-Ниренберг интерполяциялық теңсіздігі, күрделі геометриядағы Ньюландер-Ниренберг теоремасы және Джозеф Конмен псевдодифференциалдық операторларды әзірлеу кіреді.

Навье-Стокес теңдеулері

Навье-Стокс теңдеулері 1800 жылдардың басында сұйық механикасының физикасын модельдеу үшін жасалды. Жан Лерей 1930 жылдары жасаған маңызды жетістігінде теңдеулердің әлсіз шешімдерінің ықпалды түсінігін қалыптастырып, олардың бар екенін дәлелдеді. Оның жұмысын кейіннен Эберхард Хопф шекаралық мән есебіне енгізді. 1970 жылдары Владимир Шеффердің еңбегімен үлкен қадам жасалды. Ол, егер Навье-Стокс теңдеулерінің тегіс шешімі ерекше уақытқа жақындаса, онда шешімді кеңістіктегі қисықтан, шамамен айтқанда, ерекше уақытқа дейін үздіріссіз кеңейтуге болатынын көрсетті. Мұндай тегістік туралы шарт қоймай, ол екі өлшемді беттен тегіс болатын Лерей-Хопф шешімдерінің бар екенін дәлелдеді. Мұндай нәтижелер "жартылай тұрақтылық" деп аталады. Ұзақ өтпей, Луис Каффарелли, Роберт Кохн және Ниренберг Шеффердің талдауын жергілікті деңгейде нақтылады. Шеффердің талдауының негізгі құралы – энергия теңсіздігі, ол шешімдердің жергілікті интегралдық бақылауын қамтамасыз етеді. Бұл теңсіздік Лерей-Хопф шешімдері үшін автоматты түрде орындалмайды, бірақ Шеффер және Каффарелли-Кон-Ниренберг мұндай теңсіздіктерді қанағаттандыратын шешімдердің бар екенін дәлелдеді. Мұндай "априорлы" бақылауды бастапқы нүкте ретінде пайдаланып, Каффарелли-Кон-Ниренберг кеңістік-уақыттың қисығынан алыс тегістік туралы таза жергілікті нәтижені дәлелдеуге қол жеткізді, бұл Шеффердің жартылай тұрақтылығын жақсартты. Кейіннен Майкл Струве ұқсас нәтижелер тапты, ал Фанг Хуа Лин Каффарелли-Кон-Ниренбергтің талдауының оңайлатылған нұсқасын тапты. 2014 жылы Америка математикалық қоғамы Каффарелли-Кон-Ниренбергтің еңбегін зерттеуге елеулі үлес қосқаны үшін Стил сыйлығымен марапаттады, олардың жұмысы "батыл қадам" екенін және математиктердің бір буынына "шабыт көзі" болғанын айтты. 2021 жылға қарай Навье-Стокс теңдеулерінің тұрақтылық теориясын одан әрі зерттеу белгілі бір ашық мәселе болып қалуда.

Сызықтық емес эллиптік бөлшектік дифференциалдық теңдеулер

1930 жылдары Чарльз Морри екі өлшемді домендегі функциялар үшін квазилинейлі эллиптикалық дербес дифференциалдық теңдеулердің негізгі реттелу теориясын тапты. Ниренберг, Ph.D. диссертациясының бөлігі ретінде, Морридің нәтижелерін толық сызықтық емес эллиптикалық теңдеулерге қатысты кеңейтті. Морри мен Ниренбергтің еңбектері екі өлшемділікті кеңінен пайдаланды, ал жоғары өлшемді домендердегі эллиптикалық теңдеулерді түсіну шешілмеген мәселе болып қала берді. Функцияның гессианының детерминантын анықтау түріндегі Монге-Ампер теңдеуі – толық сызықтық емес эллиптикалық теңдеудің стандартты мысалының бірі. 1974 жылғы Халықаралық математиктер конгресінде жасаған шақырылған баяндамасында Ниренберг, Евгений Калабимен бірлесіп, Монге-Ампер теңдеуінің шекаралық мән есебі бойынша алынған нәтижелерді жариялады, бұл нәтижелер шекаралық реттелу бағалаулары мен сабақтастық әдісіне негізделген. Алайда, олар өз дәлелдерінің толық еместігін көп ұзамай түсінді. Олардың жұмысы Лежандр түрлендіруі арқылы Минковский мәселесімен байланысты болды, оны олар бұрын дифференциалдық-геометриялық бағалаулар арқылы шешкен. Атап айтқанда, олардың жұмысы шекаралық реттелуді пайдаланбады және олардың нәтижелері осы мәселелерді шешпеді. Луис Каффарелли мен Джоэл Спракпен бірлесіп, Ниренберг осы мәселелерді шешті, тікелей шекаралық реттелуді орнатып, оны сабақтастық әдісіне негізделген Монге-Ампер теңдеуіне тікелей көзқарас құру үшін пайдаланды. Калаби мен Ниренберг сәтті түрде бірінші екі туындыны біркелкі бақылауды көрсетті; сабақтастық әдісі үшін кілт – екінші туындының күштірек біркелкі Гельдер сабақтастығы. Каффарелли, Ниренберг және Спрак осының шекара бойындағы нәзік нұсқасын құрды және Калабидің ішкі бөлігіндегі үшінші туынды бағалауларын пайдаланып, оны жеткілікті деп көрсетті. Жозеф Конмен бірге олар күрделі Монге-Ампер теңдеуі үшін де ұқсас нәтижелер тапты. Мұндай жалпы жағдайларда Эванс-Крылов теориясы Яньян Лимен бірлесіп, және серпімділік теориясындағы композиттік материалдармен шабыттандырылып, Ниренберг коэффициенттері ішкі жағында Гельдер үздіксіз, бірақ шекарасында үздіксіз болуы мүмкін сызықтық эллиптикалық жүйелерді зерттеді. Олардың нәтижесі – шешімнің градиенті Гельдер үздіксіз, ал градиент үшін L∞ бағалауы шекарадан қашықтыққа тәуелсіз.

In the 1930s, Charles Morrey found the basic regularity theory of quasilinear elliptic partial differential equations for functions on two dimensional domains. Nirenberg, as part of his Ph. D. thesis, extended Morrey's results to the setting of fully nonlinear elliptic equations. The works of Morrey and Nirenberg made extensive use of two dimensionality, and the understanding of elliptic equations with higher dimensional domains was an outstanding open problem. The Monge Ampère equation, in the form of prescribing the determinant of the hessian of a function, is one of the standard examples of a fully nonlinear elliptic equation. In an invited lecture at the 1974 International Congress of Mathematicians, Nirenberg announced results obtained with Eugenio Calabi on the boundary value problem for the Monge−Ampère equation, based upon boundary regularity estimates and a method of continuity. However, they soon realized their proofs to be incomplete. Their work was based upon the relation via the Legendre transform to the Minkowski problem, which they had previously resolved by differential geometric estimates. In particular, their work did not make use of boundary regularity, and their results left such questions unresolved. In collaboration with Luis Caffarelli and Joel Spruck, Nirenberg resolved such questions, directly establishing boundary regularity and using it to build a direct approach to the Monge−Ampère equation based upon the method of continuity. Calabi and Nirenberg had successfully demonstrated uniform control of the first two derivatives; the key for the method of continuity is the more powerful uniform Hölder continuity of the second derivatives. Caffarelli, Nirenberg, and Spruck established a delicate version of this along the boundary, which they were able to establish as sufficient by using Calabi's third derivative estimates in the interior. With Joseph Kohn, they found analogous results in the setting of the complex Monge−Ampère equation. In such general situations, the Evans−Krylov theory

With Yanyan Li, and motivated by composite materials in elasticity theory, Nirenberg studied linear elliptic systems in which the coefficients are Hölder continuous in the interior but possibly discontinuous on the boundary. Their result is that the gradient of the solution is Hölder continuous, with a L∞ estimate for the gradient which is independent of the distance from the boundary.

Максималдылық қағидаты және оның қолданылуы

Гармоникалық функциялар жағдайында максимум принципі 1800 жылдары белгілі болды және оны Карл Фридрих Гаусс қолданды. 1900 жылдардың басында Сергей Бернштейн, Леон Лихтенштейн және Эмиль Пикард жалпы екінші реттік эллиптік бөлшектік дифференциалдық теңдеулердің күрделі кеңейтулерін тапты; 1920 жылдарға дейін Эберхард Хопф қарапайым заманауи дәлелді таппады. Алғашқы еңбектерінің бірінде Ниренберг Хопфтың дәлелін екінші реттік параболалық бөлшектік дифференциалдық теңдеулерге бейімдеді, осылайша осы контексте күшті максимум принципін орнатты. Бұрынғы жұмыстағыдай, мұндай нәтижеде әртүрлі бірегейлік және салыстыру теоремалары туындады. Ниренбергтің жұмысы қазір параболалық бөлшектік дифференциалдық теңдеулер саласындағы негіздердің бірі саналады және стандартты оқулықтарда кеңінен таралған. 1950 жылдары А. Д. Александров элегантты "қозғалатын жазықтық" әдісін енгізді, оны стандартты сфераны тұрақты орташа қисықтығы бар Евклид кеңістігінің жалғыз жабық гипербеті ретінде сипаттау үшін максимум принципін қолдану контексі ретінде пайдаланды. 1971 жылы Джеймс Серрин Александровтың әдісін қолданып, екінші реттік эллиптік бөлшектік дифференциалдық теңдеулердің жоғары симметриялық шешімдері симметриялық домендерде қолдау табатынын дәлелдеді. Ниренберг Серриннің жұмысын екінші реттік эллиптік бөлшектік дифференциалдық теңдеулердің шешімдері өз доменінің және теңдеудің өзінің симметрияларын мұра ететінін көрсету үшін қайта тұжырымдауға болатынын түсінді. Мұндай нәтижелер автоматты түрде алынбайды және берілген мәселенің қандай ерекшеліктері маңызды екенін анықтау қиын. Мысалы, Евклид кеңістігінде Лаплас операторының және Евклид кеңістігінің айналу симметриясына қарамастан, айналу симметриялы болмайтын көптеген гармоникалық функциялар бар. Бұл мәселе бойынша Ниренбергтің алғашқы нәтижелері Базилис Гидас пен Вэй Мин Нимен бірлесіп алынды. Олар Александров пен Серрин әдісінің дәл түрін жасады, ол тіпті толық сызықтық емес эллиптік және параболалық теңдеулерге де қолданылады. Кейінгі жұмыста олар Хопф леммасының шексіз домендерде қолданылатын нұсқасын жасады, осылайша мұндай домендердегі теңдеулер үшін өз жұмысын жетілдірді. Олардың негізгі қолданысы айналу симметриясымен байланысты. Мұндай нәтижелерге байланысты, геометриялық немесе физикалық қызығушылық тудыратын көптеген жағдайларда, бөлшектік дифференциалдық теңдеулерді емес, жай дифференциалдық теңдеулерді зерттеу жеткілікті. Кейіннен, Анри Берестицкиймен бірге Ниренберг Александров-Бакельман-Пуччи бағалауын қолданды. Олар өз әдісін жалпы шексіз домендердегі сапалық құбылыстарды алу үшін қолданды, бұл Мария Эстебан мен Пьер Луи Лайонның бұрынғы жұмыстарын кеңейтті.

In the case of harmonic functions, the maximum principle was known in the 1800s, and was used by Carl Friedrich Gauss. In the early 1900s, complicated extensions to general second order elliptic partial differential equations were found by Sergei Bernstein, Leon Lichtenstein, and Émile Picard; it was not until the 1920s that the simple modern proof was found by Eberhard Hopf. In one of his earliest works, Nirenberg adapted Hopf's proof to second order parabolic partial differential equations, thereby establishing the strong maximum principle in that context. As in the earlier work, such a result had various uniqueness and comparison theorems as corollaries. Nirenberg's work is now regarded as one of the foundations of the field of parabolic partial differential equations, and is ubiquitous across the standard textbooks. In the 1950s, A. D. Alexandrov introduced an elegant "moving plane" reflection method, which he used as the context for applying the maximum principle to characterize the standard sphere as the only closed hypersurface of Euclidean space with constant mean curvature. In 1971, James Serrin utilized Alexandrov's technique to prove that highly symmetric solutions of certain second order elliptic partial differential equations must be supported on symmetric domains. Nirenberg realized that Serrin's work could be reformulated so as to prove that solutions of second order elliptic partial differential equations inherit symmetries of their domain and of the equation itself. Such results do not hold automatically, and it is nontrivial to identify which special features of a given problem are relevant. For example, there are many harmonic functions on Euclidean space which fail to be rotationally symmetric, despite the rotational symmetry of the Laplacian and of Euclidean space. Nirenberg's first results on this problem were obtained in collaboration with Basilis Gidas and Wei Ming Ni. They developed a precise form of Alexandrov and Serrin's technique, applicable even to fully nonlinear elliptic and parabolic equations. In a later work, they developed a version of the Hopf lemma applicable on unbounded domains, thereby improving their work in the case of equations on such domains. Their main applications deal with rotational symmetry. Due to such results, in many cases of geometric or physical interest, it is sufficient to study ordinary differential equations rather than partial differential equations. Later, with Henri Berestycki, Nirenberg used the Alexandrov−Bakelman−Pucci estimate They further applied their method to obtain qualitative phenomena on general unbounded domains, extending earlier works of Maria Esteban and Pierre Louis Lions.

Функционалдық теңсіздіктер

Ниренберг пен Эмилио Гальярдо Соболев кеңістіктері үшін қазіргі Gagliardo–Nirenberg–Sobolev теңсіздіктері мен Gagliardo–Nirenberg интерполяциялық теңсіздіктері ретінде белгілі фундаментальды теңсіздіктерді тәуелсіз түрде дәлелдеді. Олар жартылай дифференциалдық теңдеулер туралы әдебиетте кеңінен қолданылады, сондықтан оларды әртүрлі жағдайларға кеңейту және бейімдеу үлкен қызығушылық тудырады. Ниренберг өзі кейін интерполяциялық теңсіздікте пайда болатын мүмкін көрсеткіштерді нақтылады. Луис Каффарелли мен Роберт Кохнмен бірге Ниренберг белгілі бір салмақталған нормалар үшін сәйкес теңсіздіктерді орнатты. Каффарелли, Кохн және Ниренберг нормалары кейіннен Флорин Катрина мен Чжи Цян Вангтың маңызды жұмыстарында толығырақ зерттелді. Фриц Джонның серпімділік теориясындағы шектелген орташа тербеліс (BMO) функциясы кеңістігін енгізгеннен кейін, ол және Ниренберг кеңістікті одан әрі зерттеді, атап айтқанда "Джон–Ниренберг теңсіздігін" дәлелдеді, ол BMO функциясының орташа мәнінен алыс болатын жиынның мөлшерін шектейді. Олардың жұмысы Кальдерон–Зигмунд ыдырауының қолданылуы болып табылады және ол стандартты математикалық әдебиеттің бір бөлігіне айналды. Экспозициялар ықтималдық, комплекс талдау, гармоникалық талдау, Фурье талдау және жартылай дифференциалдық теңдеулер бойынша стандартты оқулықтарда қамтылған. Хайм Брезис пен Гвидо Стампаккьямен бірге Ниренберг Фан теориясын және Стампаккьяның Лакс–Милграм теоремасының жалпылауын кеңейтетін нәтижелер шығарды. Олардың жұмысы вариациялық теңсіздіктер тақырыбына қатысты. Дирихле энергиясын бейімдеу арқылы белгілі бір толқын теңдеулерінің шешімдерін функционалдардың сындық нүктелері ретінде қарастыру стандартты болып табылады. Брезис және Жан Мишель Коронмен бірге Ниренберг жаңа функционалды тапты, оның сындық нүктелерін толқын теңдеулерінің шешімдерін құру үшін тікелей пайдалануға болады. Олар жаңа функционалға тау өту теоремасын қолдана алды, осылайша Пол Рабиновицтің нәтижесін кеңейтіп, белгілі бір толқын теңдеулерінің периодты шешімдерінің бар екендігін анықтады. Олардың жұмысының бір бөлігі стандартты тау өту теоремасы мен Пала–Смаль шартының шағын кеңейтулерін қамтыды, олар оқулықтарда стандартқа айналды. 1991 жылы Брезис пен Ниренберг Экеландтың вариациялық принципін тау өту теоремасын кеңейту үшін қалай қолдануға болатынын көрсетті, нәтижесінде Пале–Смаль шартын қажет етпей-ақ, дерлік сындық нүктелерді табуға болады. Кейін олардың жұмысын Хесус Гарсия Азореро, Хуан Манфреди және Иренео Пераль кеңейтті. Ниренбергтің ең көп сілтемеленген мақалаларының бірінде ол және Брезис Евклид кеңістіктеріндегі Ямабе типті теңдеулер үшін Дирихле мәселесін зерттеді, Ямабе мәселесі бойынша Тьерри Обиннің жұмысының бір бөлігін ұстанды. Берестицки мен Итало Капуццо Дольчеттамен бірге Ниренберг Ямабе типті суперлинейлік теңдеулерді зерттеді, әртүрлі барлық және болмау нәтижелерін берді.

Nirenberg and Emilio Gagliardo independently proved fundamental inequalities for Sobolev spaces, now known as the Gagliardo–Nirenberg–Sobolev inequality and the Gagliardo–Nirenberg interpolation inequalities. They are used ubiquitously throughout the literature on partial differential equations; as such, it has been of great interest to extend and adapt them to various situations. Nirenberg himself would later clarify the possible exponents which can appear in the interpolation inequality. With Luis Caffarelli and Robert Kohn, Nirenberg would establish corresponding inequalities for certain weighted norms. Caffarelli, Kohn, and Nirenberg's norms were later investigated more fully in notable work by Florin Catrina and Zhi Qiang Wang. Immediately following Fritz John's introduction of the bounded mean oscillation (BMO) function space in the theory of elasticity, he and Nirenberg gave a further study of the space, proving in particular the "John−Nirenberg inequality," which constrains the size of the set on which a BMO function is far from its average value. Their work, which is an application of the Calderon−Zygmund decomposition, has become a part of the standard mathematical literature. Expositions are contained in standard textbooks on probability, complex analysis, harmonic analysis, Fourier analysis, and partial differential equations. With Haïm Brezis and Guido Stampacchia, Nirenberg derived results extending both Fan's theory and Stampacchia's generalization of the Lax Milgram theorem. Their work has applications to the subject of variational inequalities. By adapting the Dirichlet energy, it is standard to recognize solutions of certain wave equations as critical points of functionals. With Brezis and Jean Michel Coron, Nirenberg found a novel functional whose critical points can be directly used to construct solutions of wave equations. They were able to apply the mountain pass theorem to their new functional, thereby establishing the existence of periodic solutions of certain wave equations, extending a result of Paul Rabinowitz. Part of their work involved small extensions of the standard mountain pass theorem and Palais Smale condition, which have become standard in textbooks. In 1991, Brezis and Nirenberg showed how Ekeland's variational principle could be applied to extend the mountain pass theorem, with the effect that almost critical points can be found without requiring the Palais−Smale condition. Their work was later extended by Jesús García Azorero, Juan Manfredi, and Ireneo Peral. In one of Nirenberg's most widely cited papers, he and Brézis studied the Dirichlet problem for Yamabe type equations on Euclidean spaces, following part of Thierry Aubin's work on the Yamabe problem. With Berestycki and Italo Capuzzo Dolcetta, Nirenberg studied superlinear equations of Yamabe type, giving various existence and non existence results.

Геометриялық мәселелер

Толық сызықтық емес эллиптік теңдеулер бойынша жұмысын пайдаланып, Ниренбергтің Ph.D. диссертациясы дифференциалдық геометрия саласындағы Вейль проблемасы мен Минковский проблемасын шешуге мүмкіндік берді. Біріншісі екі өлшемді сферадағы оң қисықтығы бар Риманн метрикасының үш өлшемді Евклид кеңістігіне изометриялық енгізілуінің болуын сұрайды, ал екіншісі үш өлшемді Евклид кеңістігіндегі жабық беттерге қатысты, олар үшін Гаусс картасы Гаусс қисықтығын анықтайды. Маңыздысы, беттер теориясынан алынған «Дарбоу теңдеуі» Монге-Ампер типінде болады, сондықтан Ниренбергтің тұрақтылық теориясы үзіліс әдісінде қолданылады. Джон Нэштің көп ұзамай жарияланған белгілі изометриялық енгізу теоремалары Вейль проблемасымен тікелей байланысты емес, ол жоғары дәрежелі енгізулермен және төмен кодименсиямен бірдей айналысады. Шиң Шен Черн мен Андре Вейльдің Ниренбергке қойған сұрағына жауап ретінде Ниренберг және оның докторанты Август Ньюландер қазір Ньюландер-Ниренберг теоремасы деп танылатын теореманы дәлелдеді, ол нақты алгебралық шартты ұсынады, онда дерлік комплекс құрылым голоморфты координата атласынан туындайды. Ньюландер-Ниренберг теоремасы қазір комплекс геометрияның негізгі нәтижесі саналады, бірақ нәтиже өзінің дәлелдемесінен гөрі жақсы танымал, себебі ол, әдетте, кіріспе мәтіндерде қарастырылмайды, өйткені ол бөлшек дифференциалдық теңдеулердің жетілген әдістеріне сүйенеді. Ниренберг пен Джозеф Конн Кохнның бұрынғы жұмысына сүйене отырып, псевдоконвекс домендердегі Нейман проблемасын зерттеді және оператор үшін субеллиптік бағалаулардың болуымен тұрақтылық теориясының байланысын көрсетті. Классикалық Пуанкаре дискісі моделі гиперболалық кеңістіктің метрикасын бірлік шарға бейімдейді. Ниренберг пен Чарльз Лоунер Евклид кеңістігінің шектеулі ашық ішкі жиындарына толық Риманн метрикасын табиғи түрде бейімдеудің жалпы тәсілдерін зерттеді. Геометриялық есептеулер көрсеткендей, Ямабе типті жартылай сызықтық теңдеулердің шешімдерін тұрақты скалярлық қисықтығы бар метриканы анықтау үшін пайдалануға болады, ал шешім шекараға жақын шексіздікке ұмтылса, метрика толық болады. Лоунер мен Ниренберг белгілі бір домендерде мұндай шешімдердің бар екенін көрсетті. Сол сияқты, олар Монге-Ампер теңдеуін зерттеді, онда шекарада нөлге дейін үздіріссіз кеңейтілген кез келген теріс шешім үшін гессиан арқылы толық Риманн метрикасын анықтауға болады. Бұл метрикалар проективті инварианттылықтың ерекше қасиетіне ие, сондықтан бір доменнен екінші доменге проективті түрлендіру сәйкес метрикалардың изометриясына айналады.

Making use of his work on fully nonlinear elliptic equations, Nirenberg's Ph. D. thesis provided a resolution of the Weyl problem and Minkowski problem in the field of differential geometry. The former asks for the existence of isometric embeddings of positively curved Riemannian metrics on the two dimensional sphere into three dimensional Euclidean space, while the latter asks for closed surfaces in three dimensional Euclidean space for which the Gauss map prescribes the Gaussian curvature. The key is that the "Darboux equation" from surface theory is of Monge−Ampère type, so that Nirenberg's regularity theory becomes useful in the method of continuity. John Nash's well known isometric embedding theorems, established soon afterwards, have no apparent relation to the Weyl problem, which deals simultaneously with high regularity embeddings and low codimension. Answering a question posed to Nirenberg by Shiing Shen Chern and André Weil, Nirenberg and his doctoral student August Newlander proved what is now known as the Newlander Nirenberg theorem, which provides the precise algebraic condition under which an almost complex structure arises from a holomorphic coordinate atlas. The Newlander Nirenberg theorem is now considered as a foundational result in complex geometry, although the result itself is far better known than the proof, which is not usually covered in introductory texts, as it relies on advanced methods in partial differential equations. Nirenberg and Joseph Kohn, following earlier work by Kohn, studied the Neumann problem on pseudoconvex domains, and demonstrated the relation of the regularity theory to the existence of subelliptic estimates for the operator. The classical Poincaré disk model assigns the metric of hyperbolic space to the unit ball. Nirenberg and Charles Loewner studied the more general means of naturally assigning a complete Riemannian metric to bounded open subsets of Euclidean space. Geometric calculations show that solutions of certain semilinear Yamabe type equations can be used to define metrics of constant scalar curvature, and that the metric is complete if the solution diverges to infinity near the boundary. Loewner and Nirenberg established existence of such solutions on certain domains. Similarly, they studied a certain Monge−Ampère equation with the property that, for any negative solution extending continuously to zero at the boundary, one can define a complete Riemannian metric via the hessian. These metrics have the special property of projective invariance, so that projective transformation from one given domain to another becomes an isometry of the corresponding metrics.

Псевдодифференциалдық операторлар

Джозеф Кохн мен Ниренберг псевдодифференциалдық операторлар ұғымын енгізді. Ниренберг пен Франсуа Трев екінші реттік шешілмейтін сызықтық ПДЭ үшін танымал Леви мысалын зерттеді және бөлшектік дифференциалдық операторлар мен псевдодифференциалдық операторлар аясында оның шешілу шарттарын анықтады. Олардың аналитикалық коэффициенттері бар жергілікті шешімділік шарттарын енгізуі Р. Билс, К. Фефферман, Р. Д. Мойер, Ларс Хёрмандер және Нильс Денкер сияқты зерттеушілердің назарына ілікті. Олар Леви теңдеуі үшін псевдодифференциалдық шартты шешті. Бұл сызықтық бөлшектік дифференциалдық теңдеулердің жергілікті шешілуіне жаңа мүмкіндіктер ашты.

Негізгі басылымдар

Кітаптар мен сараптамалар. Мақалалар.