Луи Ниренберг: Жизнь и вклад в математику

Введение

Канадский американский математик (1925–2020)

Луис Ниренберг (28 февраля 1925 – 26 января 2020) был канадским американским математиком, считающимся одним из наиболее выдающихся математиков XX века. Практически все его работы были посвящены области частных дифференциальных уравнений. Многие его достижения в настоящее время признаны фундаментальными для этой области, такие как принцип сильного максимума для параболических частных дифференциальных уравнений второго порядка и теорема Ньюландера — Ниренберга в комплексной геометрии. Он считается основоположником в области геометрического анализа, и многие его работы тесно связаны с изучением комплексного анализа и дифференциальной геометрии.

Математические достижения

Ниренберг особенно известен своим сотрудничеством с Шмуэлем Агмоном и Авроном Дуглисом, в рамках которого они расширили теорию Шаудера, ранее применявшуюся к эллиптическим частным дифференциальным уравнениям второго порядка, на общий случай эллиптических систем. Вместе с Базилисом Гидасом и Вэй Мин Ни он применил принцип максимума для доказательства симметрии многих решений дифференциальных уравнений. Изучение функционального пространства BMO было начато Ниренбергом и Фрицем Джоном в 1961 году; хотя первоначально Джон ввёл его при исследовании упругих материалов, оно также нашло применение в теории вероятностей, в частности, к мартингалам. Его работа 1982 года совместно с Луисом Каффарелли и Робертом Коном внесла основополагающий вклад в теорию существования и гладкости решений уравнений Навье — Стокса в области математической гидродинамики. Среди других его достижений — решение задачи Минковского в двух измерениях, интерполяционное неравенство Гальярдо — Ниренберга, теорема Ньюлендера — Ниренберга в комплексной геометрии и разработка псевдодифференциальных операторов совместно с Джозефом Коном.

Уравнения Навье-Стокса

Уравнения Навье — Стокса были разработаны в начале 1800-х годов для моделирования физики механики жидкостей. Жан Лерей, в своем основополагающем достижении 1930-х годов, сформулировал влиятельное понятие слабого решения этих уравнений и доказал его существование. Позднее его работа была представлена в виде краевой задачи Эберхардом Хопфом. Прорыв произошел благодаря работам Владимира Шеффера в 1970-х годах. Он показал, что если гладкое решение уравнений Навье — Стокса приближается к сингулярному времени, то это решение можно непрерывно продолжить до этого времени, за исключением, грубо говоря, кривой в пространстве. Без такого предположения о гладкости он установил существование решений Лерея — Хопфа, которые гладки за исключением двумерной поверхности в пространстве-времени. Такие результаты называют «частичной регулярностью». Вскоре после этого Луис Каффарелли, Роберт Кон и Ниренберг локализовали и уточнили анализ Шеффера. Ключевым инструментом анализа Шеффера было энергетическое неравенство, обеспечивающее локализованный интегральный контроль решений. Оно не выполняется автоматически для решений Лерея — Хопфа, но Шеффер и Каффарелли — Кон — Ниренберг установили теоремы о существовании решений, удовлетворяющих таким неравенствам. Используя такой «априорный» контроль в качестве отправной точки, Каффарелли — Кон — Ниренберг смогли доказать чисто локальный результат о гладкости за исключением кривой в пространстве-времени, улучшив частичную регулярность Шеффера. Позже аналогичные результаты были получены Майклом Струве, а упрощенная версия анализа Каффарелли — Кон — Ниренберга была найдена Фан Хуа Линем. В 2014 году Американское математическое общество отметило работу Каффарелли — Кон — Ниренберга премией Стила за выдающийся вклад в исследования, назвав ее «вехой», служащей «источником вдохновения для поколения математиков». Дальнейший анализ теории регулярности уравнений Навье — Стокса, по состоянию на 2021 год, остается известной открытой проблемой.

Нелинейные эллиптические уравнения с частичными дифференциалами

В 1930-х годах Чарльз Морри заложил основы теории регулярности квазилинейных эллиптических частных дифференциальных уравнений для функций на двумерных областях. Ниренберг, в рамках своей докторской диссертации, расширил результаты Морри на случай полностью нелинейных эллиптических уравнений. Работы Морри и Ниренберга в значительной степени опирались на двумерность, а понимание эллиптических уравнений в областях более высокой размерности оставалось важной нерешенной проблемой. Уравнение Монжа-Ампера, в форме задания детерминанта гессиана функции, является одним из стандартных примеров полностью нелинейного эллиптического уравнения. С приглашенным докладом на Международном конгрессе математиков в 1974 году Ниренберг выступил с результатами, полученными совместно с Эухенио Калаби, по краевой задаче для уравнения Монжа-Ампера, основанными на оценках краевой регулярности и методе непрерывности. Однако вскоре они осознали, что их доказательства неполны. Их работа базировалась на связи посредством преобразования Лежандра с проблемой Минковского, которую они ранее решили с помощью дифференциально-геометрических оценок. В частности, в их работе не использовалась краевая регулярность, и их результаты оставляли эти вопросы открытыми. В сотрудничестве с Луисом Каффарелли и Джоэлем Спраком Ниренберг решил эти вопросы, непосредственно установив краевую регулярность и используя ее для построения прямого подхода к уравнению Монжа-Ампера на основе метода непрерывности. Калаби и Ниренберг успешно продемонстрировали равномерный контроль первых двух производных; ключевым моментом для метода непрерывности является более сильная равномерная непрерывность Гельдера вторых производных. Каффарелли, Ниренберг и Спрак установили тонкую версию этого вдоль границы, которую им удалось доказать как достаточную, используя оценки третьих производных Калаби внутри области. Вместе с Джозефом Коном они получили аналогичные результаты для комплексного уравнения Монжа-Ампера. В таких общих ситуациях применялась теория Эванса-Крылова.

In the 1930s, Charles Morrey found the basic regularity theory of quasilinear elliptic partial differential equations for functions on two dimensional domains. Nirenberg, as part of his Ph. D. thesis, extended Morrey's results to the setting of fully nonlinear elliptic equations. The works of Morrey and Nirenberg made extensive use of two dimensionality, and the understanding of elliptic equations with higher dimensional domains was an outstanding open problem. The Monge Ampère equation, in the form of prescribing the determinant of the hessian of a function, is one of the standard examples of a fully nonlinear elliptic equation. In an invited lecture at the 1974 International Congress of Mathematicians, Nirenberg announced results obtained with Eugenio Calabi on the boundary value problem for the Monge−Ampère equation, based upon boundary regularity estimates and a method of continuity. However, they soon realized their proofs to be incomplete. Their work was based upon the relation via the Legendre transform to the Minkowski problem, which they had previously resolved by differential geometric estimates. In particular, their work did not make use of boundary regularity, and their results left such questions unresolved. In collaboration with Luis Caffarelli and Joel Spruck, Nirenberg resolved such questions, directly establishing boundary regularity and using it to build a direct approach to the Monge−Ampère equation based upon the method of continuity. Calabi and Nirenberg had successfully demonstrated uniform control of the first two derivatives; the key for the method of continuity is the more powerful uniform Hölder continuity of the second derivatives. Caffarelli, Nirenberg, and Spruck established a delicate version of this along the boundary, which they were able to establish as sufficient by using Calabi's third derivative estimates in the interior. With Joseph Kohn, they found analogous results in the setting of the complex Monge−Ampère equation. In such general situations, the Evans−Krylov theory

Вместе с Яньяном Ли и, вдохновленный композитными материалами в теории упругости, Ниренберг изучал линейные эллиптические системы, в которых коэффициенты непрерывны по Гельдеру внутри области, но могут быть разрывными на границе. Их результатом является то, что градиент решения непрерывен по Гельдеру, с оценкой L∞ для градиента, не зависящей от расстояния до границы.

Принцип максимального воздействия и его применение

В случае гармонических функций принцип максимума был известен в 1800-х годах и использовался Карлом Фридрихом Гауссом. В начале 1900-х годов Сергей Бернштейн, Леон Лихтенштейн и Эмиль Пикар нашли сложные расширения для общих эллиптических уравнений в частных производных второго порядка; лишь в 1920-х годах Эберхард Хопф обнаружил простое современное доказательство. В одной из своих ранних работ Ниренберг адаптировал доказательство Хопфа к параболическим уравнениям в частных производных второго порядка, тем самым установив принцип сильного максимума в этом контексте. Как и в предыдущей работе, этот результат имел различные теоремы об единственности и сравнения в качестве следствий. Работа Ниренберга сейчас считается одним из краеугольных камней в области параболических уравнений в частных производных и широко представлена в стандартных учебниках. В 1950-х годах А. Д. Александров представил элегантный метод отражения «движущейся плоскости», который он использовал как основу для применения принципа максимума с целью характеризации стандартной сферы как единственной замкнутой гиперповерхности евклидова пространства с постоянной средней кривизной. В 1971 году Джеймс Серрин использовал технику Александрова для доказательства того, что высокосимметричные решения некоторых эллиптических уравнений в частных производных второго порядка должны быть определены на симметричных областях. Ниренберг понял, что работу Серрина можно переформулировать, чтобы доказать, что решения эллиптических уравнений в частных производных второго порядка наследуют симметрию как своей области определения, так и самого уравнения. Такие результаты не выполняются автоматически, и непросто определить, какие особенности конкретной задачи имеют значение. Например, существует множество гармонических функций в евклидовом пространстве, которые не являются вращательно симметричными, несмотря на вращательную симметрию лапласиана и самого евклидова пространства. Первые результаты Ниренберга по этой проблеме были получены в сотрудничестве с Базилисом Гидасом и Вэй Мин Ни. Они разработали точную форму техники Александрова и Серрина, применимую даже к полностью нелинейным эллиптическим и параболическим уравнениям. В более поздней работе они разработали версию леммы Хопфа, применимую к неограниченным областям, тем самым улучшив свою работу для уравнений на таких областях. Их основные приложения связаны с вращательной симметрией. Благодаря этим результатам, во многих случаях, представляющих геометрический или физический интерес, достаточно изучать обыкновенные дифференциальные уравнения, а не уравнения в частных производных. Позже, совместно с Анри Берестицким, Ниренберг использовал оценку Александрова-Бакельмана-Пуччи. Они дополнительно применили свой метод для получения качественных результатов на общих неограниченных областях, расширив более ранние работы Марии Эстебан и Пьера Луи Льона.

In the case of harmonic functions, the maximum principle was known in the 1800s, and was used by Carl Friedrich Gauss. In the early 1900s, complicated extensions to general second order elliptic partial differential equations were found by Sergei Bernstein, Leon Lichtenstein, and Émile Picard; it was not until the 1920s that the simple modern proof was found by Eberhard Hopf. In one of his earliest works, Nirenberg adapted Hopf's proof to second order parabolic partial differential equations, thereby establishing the strong maximum principle in that context. As in the earlier work, such a result had various uniqueness and comparison theorems as corollaries. Nirenberg's work is now regarded as one of the foundations of the field of parabolic partial differential equations, and is ubiquitous across the standard textbooks. In the 1950s, A. D. Alexandrov introduced an elegant "moving plane" reflection method, which he used as the context for applying the maximum principle to characterize the standard sphere as the only closed hypersurface of Euclidean space with constant mean curvature. In 1971, James Serrin utilized Alexandrov's technique to prove that highly symmetric solutions of certain second order elliptic partial differential equations must be supported on symmetric domains. Nirenberg realized that Serrin's work could be reformulated so as to prove that solutions of second order elliptic partial differential equations inherit symmetries of their domain and of the equation itself. Such results do not hold automatically, and it is nontrivial to identify which special features of a given problem are relevant. For example, there are many harmonic functions on Euclidean space which fail to be rotationally symmetric, despite the rotational symmetry of the Laplacian and of Euclidean space. Nirenberg's first results on this problem were obtained in collaboration with Basilis Gidas and Wei Ming Ni. They developed a precise form of Alexandrov and Serrin's technique, applicable even to fully nonlinear elliptic and parabolic equations. In a later work, they developed a version of the Hopf lemma applicable on unbounded domains, thereby improving their work in the case of equations on such domains. Their main applications deal with rotational symmetry. Due to such results, in many cases of geometric or physical interest, it is sufficient to study ordinary differential equations rather than partial differential equations. Later, with Henri Berestycki, Nirenberg used the Alexandrov−Bakelman−Pucci estimate They further applied their method to obtain qualitative phenomena on general unbounded domains, extending earlier works of Maria Esteban and Pierre Louis Lions.

Функциональные неравенства

Ниренберг и Эмилио Гальярдо независимо друг от друга доказали фундаментальные неравенства для пространств Соболева, теперь известные как неравенство Гальярдо — Ниренберга — Соболева и неравенства интерполяции Гальярдо — Ниренберга. Они повсеместно используются в литературе по уравнениям в частных производных, поэтому их обобщение и адаптация к различным ситуациям представляли большой интерес. Сам Ниренберг позднее уточнил возможные показатели, которые могут встречаться в неравенстве интерполяции. Вместе с Луисом Каффарелли и Робертом Коном Ниренберг установил соответствующие неравенства для определенных взвешенных норм. Нормы Каффарелли — Кона — Ниренберга позднее были более детально исследованы во влиятельной работе Флорина Катрины и Чжи Цян Ванга. Сразу после введения Фрицем Джоном пространства функций ограниченного среднего колебания (BMO) в теории упругости, он и Ниренберг провели дальнейшее исследование этого пространства, доказав, в частности, «неравенство Джона — Ниренберга», которое ограничивает размер множества, на котором функция BMO значительно отличается от своего среднего значения. Их работа, являющаяся применением разложения Кальдерона — Зигмунда, стала частью стандартной математической литературы. Изложение представлено в стандартных учебниках по теории вероятностей, комплексному анализу, гармоническому анализу, анализу Фурье и уравнениям в частных производных. Вместе с Хаймом Брезисом и Гидо Стампаччией Ниренберг получил результаты, расширяющие теорию Фана и обобщение теоремы Лакса — Милграма, предложенное Стампаччией. Их работа находит применение в области вариационных неравенств. Адаптируя энергию Дирихле, обычно рассматривают решения определенных волновых уравнений как критические точки функционалов. Вместе с Брезисом и Жаном Мишелем Короном Ниренберг обнаружил новый функционал, критические точки которого можно непосредственно использовать для построения решений волновых уравнений. Они смогли применить теорему горного перевала к этому новому функционалу, тем самым установив существование периодических решений определенных волновых уравнений и расширив результат Пола Рабиновица. Часть их работы включала небольшие обобщения стандартной теоремы горного перевала и условия Пала — Смаля, которые стали стандартными в учебниках. В 1991 году Брезис и Ниренберг показали, как вариационный принцип Экеланда можно применить для расширения теоремы горного перевала, что позволило находить почти критические точки без необходимости выполнения условия Пала — Смаля. Их работу позднее продолжили Хесус Гарсия Азореро, Хуан Манфреди и Иренео Перал. В одной из наиболее цитируемых работ Ниренберга он и Брезис исследовали задачу Дирихле для уравнений типа Ямабе на евклидовых пространствах, опираясь на часть работы Тьерри Обина по проблеме Ямабе. Вместе с Берестицким и Итало Капуццо Дольчеттой Ниренберг изучал сверхлинейные уравнения типа Ямабе, получив различные результаты о существовании и несуществовании решений.

Nirenberg and Emilio Gagliardo independently proved fundamental inequalities for Sobolev spaces, now known as the Gagliardo–Nirenberg–Sobolev inequality and the Gagliardo–Nirenberg interpolation inequalities. They are used ubiquitously throughout the literature on partial differential equations; as such, it has been of great interest to extend and adapt them to various situations. Nirenberg himself would later clarify the possible exponents which can appear in the interpolation inequality. With Luis Caffarelli and Robert Kohn, Nirenberg would establish corresponding inequalities for certain weighted norms. Caffarelli, Kohn, and Nirenberg's norms were later investigated more fully in notable work by Florin Catrina and Zhi Qiang Wang. Immediately following Fritz John's introduction of the bounded mean oscillation (BMO) function space in the theory of elasticity, he and Nirenberg gave a further study of the space, proving in particular the "John−Nirenberg inequality," which constrains the size of the set on which a BMO function is far from its average value. Their work, which is an application of the Calderon−Zygmund decomposition, has become a part of the standard mathematical literature. Expositions are contained in standard textbooks on probability, complex analysis, harmonic analysis, Fourier analysis, and partial differential equations. With Haïm Brezis and Guido Stampacchia, Nirenberg derived results extending both Fan's theory and Stampacchia's generalization of the Lax Milgram theorem. Their work has applications to the subject of variational inequalities. By adapting the Dirichlet energy, it is standard to recognize solutions of certain wave equations as critical points of functionals. With Brezis and Jean Michel Coron, Nirenberg found a novel functional whose critical points can be directly used to construct solutions of wave equations. They were able to apply the mountain pass theorem to their new functional, thereby establishing the existence of periodic solutions of certain wave equations, extending a result of Paul Rabinowitz. Part of their work involved small extensions of the standard mountain pass theorem and Palais Smale condition, which have become standard in textbooks. In 1991, Brezis and Nirenberg showed how Ekeland's variational principle could be applied to extend the mountain pass theorem, with the effect that almost critical points can be found without requiring the Palais−Smale condition. Their work was later extended by Jesús García Azorero, Juan Manfredi, and Ireneo Peral. In one of Nirenberg's most widely cited papers, he and Brézis studied the Dirichlet problem for Yamabe type equations on Euclidean spaces, following part of Thierry Aubin's work on the Yamabe problem. With Berestycki and Italo Capuzzo Dolcetta, Nirenberg studied superlinear equations of Yamabe type, giving various existence and non existence results.

Геометрические задачи

Используя свою работу по полностью нелинейным эллиптическим уравнениям, диссертация Ниренберга решила проблему Вейля и проблему Минковского в области дифференциальной геометрии. Первая из них ставит вопрос о существовании изометрических погружений положительно искривленных римановых метрик на двумерной сфере в трехмерное евклидово пространство, а вторая – о существовании замкнутых поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве, для которых карта Гаусса задает гауссову кривизну. Ключевым моментом является то, что «уравнение Дарбу» из теории поверхностей имеет вид уравнения Монжа-Ампера, благодаря чему теория регулярности Ниренберга оказывается полезной в методе непрерывности. Хорошо известные теоремы Нэша об изометрическом погружении, установленные вскоре после этого, не имеют очевидной связи с проблемой Вейля, которая одновременно рассматривает погружения с высокой регулярностью и низкой коразмерностью. Отвечая на вопрос, заданный Ниренбергу Шиингом Шеном Черном и Андре Вейлем, Ниренберг и его аспирант Август Ньюландер доказали то, что теперь известно как теорема Ньюландера-Ниренберга, которая предоставляет точное алгебраическое условие, при котором почти комплексная структура возникает из голоморфного координатного атласа. Теорема Ньюландера-Ниренберга сейчас считается основополагающим результатом в комплексной геометрии, хотя сам результат гораздо лучше известен, чем его доказательство, которое обычно не рассматривается во вводных учебниках, поскольку оно опирается на продвинутые методы в теории частных дифференциальных уравнений. Ниренберг и Джозеф Кон, опираясь на более ранние работы Кона, изучали задачу Неймана на псевдовыпуклых областях и продемонстрировали связь теории регулярности с существованием субеллиптических оценок для оператора. Классическая модель диска Пуанкаре наделяет единичный шар метрикой гиперболического пространства. Ниренберг и Чарльз Лоунер изучали более общие способы естественного назначения полной римановой метрики ограниченным открытым подмножествам евклидова пространства. Геометрические вычисления показывают, что решения некоторых полулинейных уравнений типа Ямабе можно использовать для определения метрик постоянной скалярной кривизны, и что метрика является полной, если решение расходится к бесконечности вблизи границы. Лоунер и Ниренберг установили существование таких решений на определенных областях. Аналогично, они изучали некоторое уравнение Монжа-Ампера, обладающее свойством, что для любого отрицательного решения, непрерывно простирающегося до нуля на границе, можно определить полную риманову метрику через гессиан. Эти метрики обладают особым свойством проективной инвариантности, в силу чего проективное преобразование из одной заданной области в другую становится изометрией соответствующих метрик.

Making use of his work on fully nonlinear elliptic equations, Nirenberg's Ph. D. thesis provided a resolution of the Weyl problem and Minkowski problem in the field of differential geometry. The former asks for the existence of isometric embeddings of positively curved Riemannian metrics on the two dimensional sphere into three dimensional Euclidean space, while the latter asks for closed surfaces in three dimensional Euclidean space for which the Gauss map prescribes the Gaussian curvature. The key is that the "Darboux equation" from surface theory is of Monge−Ampère type, so that Nirenberg's regularity theory becomes useful in the method of continuity. John Nash's well known isometric embedding theorems, established soon afterwards, have no apparent relation to the Weyl problem, which deals simultaneously with high regularity embeddings and low codimension. Answering a question posed to Nirenberg by Shiing Shen Chern and André Weil, Nirenberg and his doctoral student August Newlander proved what is now known as the Newlander Nirenberg theorem, which provides the precise algebraic condition under which an almost complex structure arises from a holomorphic coordinate atlas. The Newlander Nirenberg theorem is now considered as a foundational result in complex geometry, although the result itself is far better known than the proof, which is not usually covered in introductory texts, as it relies on advanced methods in partial differential equations. Nirenberg and Joseph Kohn, following earlier work by Kohn, studied the Neumann problem on pseudoconvex domains, and demonstrated the relation of the regularity theory to the existence of subelliptic estimates for the operator. The classical Poincaré disk model assigns the metric of hyperbolic space to the unit ball. Nirenberg and Charles Loewner studied the more general means of naturally assigning a complete Riemannian metric to bounded open subsets of Euclidean space. Geometric calculations show that solutions of certain semilinear Yamabe type equations can be used to define metrics of constant scalar curvature, and that the metric is complete if the solution diverges to infinity near the boundary. Loewner and Nirenberg established existence of such solutions on certain domains. Similarly, they studied a certain Monge−Ampère equation with the property that, for any negative solution extending continuously to zero at the boundary, one can define a complete Riemannian metric via the hessian. These metrics have the special property of projective invariance, so that projective transformation from one given domain to another becomes an isometry of the corresponding metrics.

Псевдодифференциальные операторы

Джозеф Кон и Ниренберг ввели понятие псевдодифференциальных операторов. Ниренберг и Франсуа Трев исследовали знаменитый пример Льюи для неразрешимого линейного уравнения в частных производных второго порядка и обнаружили условия, при которых оно разрешимо, как в контексте операторов частных производных, так и в контексте псевдодифференциальных операторов. Их введение условий локальной разрешимости с аналитическими коэффициентами стало предметом изучения таких исследователей, как Р. Бильс, К. Фефферман, Р. Д. Мойер, Ларс Хёрмандер и Нильс Денкер, которые решили псевдодифференциальное условие для уравнения Льюи. Это открыло новые возможности для исследования локальной разрешимости линейных уравнений в частных производных.

Основные публикации

Книги и исследования. Статьи.