Кіріспе
Дифференциалдық теңдеулердің алгебралық зерттелуі
algebraic study of differential equations
Математикада дифференциалдық алгебра – дифференциалдық теңдеулер мен дифференциалдық операторларды алгебралық объектілер ретінде зерттеу саласы болып табылады. Бұл зерттеу дифференциалдық теңдеулер мен операторлардың қасиеттерін олардың шешімдерін есептеусіз шығаруға мүмкіндік береді, дәл сол сияқты полиномдық алгебралар алгебралық сан түрлерін зерттеу үшін қолданылады, олар полиномдық теңдеулер жүйелерінің шешімдер жиыны болып табылады. Вейль алгебралары мен Ли алгебралары дифференциалдық алгебраға жатады деп есептелуі мүмкін. Нақтырақ айтқанда, дифференциалдық алгебра – 1950 жылы Джозеф Ритт енгізген теорияны білдіреді, онда дифференциалдық сақиналар, дифференциалдық өрістер және дифференциалдық алгебралар – шекті санда туындылары бар сақиналар, өрістер және алгебралар болып табылады. Дифференциалдық өрістің нақты мысалы – комплекс сандардағы бір айнымалыдағы рационалдық функциялар өрісі, онда туынды айнымалыға қатысты дифференциация болып табылады. Кез келген дифференциалдық теңдеуді, теңдеуде кездесетін (белгілі) функциялардың тудырған дифференциалдық өрісіндегі дифференциалдық алгебраның бір элементесі ретінде қарастыруға болады.
Тарих
Джозеф Ритт дифференциалдық алгебраны дамытты, себебі ол дифференциалдық теңдеулер жүйесін әртүрлі канондық түрлерге келтіру әрекеттерін қанағаттандырмайтын тәсіл деп есептеді. Дегенмен, алгебралық жою әдістерінің және алгебралық манифольд теориясының жетістіктері Риттті дифференциалдық теңдеулерге де ұқсас көзқарас қолдануға ынталандырды. Оның еңбектері «Алгебралық дифференциалдық теңдеулер жүйесімен анықталған функциялар манифолды» деген мақалаға және «Алгебралық тұрғысынан дифференциалдық теңдеулер» және «Дифференциалдық алгебра» деген екі кітапқа әкелді. Ритттің шәкірті Эллис Колчин бұл саланың дамуына үлкен үлес қосып, «Дифференциалдық алгебра және алгебралық топтар» еңбегін жариялады.
Жоғары сатылы туындылар
Деривация операторы немесе жоғары реттік деривация бірнеше деривациялардың композициясы болып табылады. Дифференциалдық сақинаның деривациялары коммутативті болады деп есептелетін болғандықтан, деривациялардың реті маңызды емес, ал деривация операторын былай жазуға болады:
мұндағы – қарастырылып жатқан деривациялар, – теріс емес бүтін сандар, ал деривацияның көрсеткіші операторда осы деривацияның композицияланған санына сәйкес келеді. қосындысы деривацияның реті деп аталады. Егер деривация операторы бастапқы деривациялардың бірі болса. Егер , онда әдетте нөлдік реттік деривация операторы ретінде қарастырылатын бірлік функция бар. Осы шарттар бойынша, деривация операторлары қарастырылып жатқан деривациялар жиынында еркін коммутативті моноид құрайды. Дифференциалдық сақинаның элементінің туындысы – бұл деривация операторының осы элементке қолданылуы, яғни жоғарыдағы белгілеулермен, . Нақты туынды – оң реттік туынды.
Дифференциалдық көптіктер
Дифференциалдық өріс үстіндегі дифференциалдық полином – дифференциалдық теңдеу түсінігінің формалдануы, яғни теңдеуде кездесетін белгілі функциялар дифференциалдық өріске жатады, ал белгісіздер белгісіз функциялардың символдары болып табылады. Демек, дифференциалдық өріс болсын, ол әдетте (бірақ міндетті емес) рационалды бөлшектердің өрісі (көпөлшемді полиномдардың бөлшектері), және (әдеттегі ішінара туындылар) сияқты туындылармен жабдықталған. дифференциалдық полиномдар сақинасын анықтау үшін, анықталмағандармен, туындылармен, 1-ден жоғары ретті туынды операторларының шексіздігін енгізеді. Осы белгілеумен, – бұл осы барлық анықталмағандардағы полиномдар жиыны (әр полином тек шекті сандағы анықталмағандарды қамтиды), және табиғи туындыларға ие. Атап айтқанда, дифференциалдық полиномдар сақинасы Нотерлік емес болуы мүмкін. Бұл полином сақиналарының жалпылау теориясын қиындатады. Дегенмен, екі факт осындай жалпылауға мүмкіндік береді. Біріншіден, шекті сандағы дифференциалдық полиномдар бірге шекті сандағы анықталмағандарды қамтиды. Осыдан келіп, полиномдардың шекті сандағы полиномдарды қамтитын кез келген қасиеті дифференциалдық полиномдар үшін де сақталады. Атап айтқанда, ең үлкен ортақ бөлгіштер бар, және дифференциалдық полиномдар сақинасы – бірегей факторлау домені. Екінші факт – егер өріс рационалдық сандар өрісін қамтитын болса, дифференциалдық полиномдар сақиналары радикалдық дифференциалдық идеалдар бойынша өсу тізбегі шартын қанағаттандырады. Бұл Ритт теоремасы оның жалпылауымен түсіндіріледі, кейде Ритт-Рауденбуш негіз теоремасы деп аталады, ол егер Ритт алгебрасы болса (яғни рационалдық сандар өрісін қамтитын дифференциалдық сақина), және радикалдық дифференциалдық идеалдар бойынша өсу тізбегі шартын қанағаттандырса, онда дифференциалдық полиномдар сақинасы да сол қасиетті қанағаттандырады (теореманы итеративті қолдану арқылы бірөлшемді жағдайдан көпөлшемді жағдайға өтеді). Бұл Нотерлік қасиет дифференциалдық полиномдар сақинасындағы әрбір радикалдық дифференциалдық идеал I радикалдық дифференциалдық идеал ретінде шекті түрде туындайды дегенді білдіреді; яғни, I-ді қамтитын дифференциалдық полиномдардың шекті жиынтығы S бар, және I – S-ты қамтитын ең кішкентай радикалдық дифференциалдық идеал. Бұл радикалдық дифференциалдық идеалды осындай шекті генераторлар жиынтығы арқылы көрсетуге және осы идеалдармен есептеуге мүмкіндік береді. Дегенмен, алгебралық жағдайдың кейбір әдеттегі есептеулерін кеңейту мүмкін емес. Атап айтқанда, элементтің радикалдық дифференциалдық идеалға жататындығын немесе екі радикалдық дифференциалдық идеалдың теңдігін тексеруге арналған алгоритм белгілі емес. Нотерлік қасиеттің тағы бір салдары – радикалдық дифференциалдық идеалды идеалдың негізгі негізгі компоненттері деп аталатын, шекті сандағы негізгі дифференциалдық идеалдардың қиылысы ретінде бірегей түрде көрсетуге болады.
Even when a ring of differential polynomials is not Noetherian. This makes the theory of this generalization of polynomial rings difficult. However, two facts allow such a generalization. Firstly, a finite number of differential polynomials involves together a finite number of indeterminates. Its follows that every property of polynomials that involves a finite number of polynomials remains true for differential polynomials. In particular, greatest common divisors exist, and a ring of differential polynomials is a unique factorization domain. The second fact is that, if the field contains the field of rational numbers, the rings of differential polynomials over satisfy the ascending chain condition on radical differential ideals. This Ritt’s theorem is implied by its generalization, sometimes called the Ritt Raudenbush basis theorem which asserts that if is a Ritt Algebra (that, is a differential ring containing the field of rational numbers), that satisfies the ascending chain condition on radical differential ideals, then the ring of differential polynomials satisfies the same property (one passes from the univariate to the multivariate case by applying the theorem iteratively). This Noetherian property implies that, in a ring of differential polynomials, every radical differential ideal I is finitely generated as a radical differential ideal; this means that there exists a finite set S of differential polynomials such that I is the smallest radical differential idesl containing S. This allows representing a radical differential ideal by such a finite set of generators, and computing with these ideals. However, some usual computations of the algebraic case cannot be extended. In particular no algorithm is known for testing membership of an element in a radical differential ideal or the equality of two radical differential ideals. Another consequence of the Noetherian property is that a radical differential ideal can be uniquely expressed as the intersection of a finite number of prime differential ideals, called essential prime components of the ideal.
Жою әдістері
Элиминация әдістері – дифференциалдық теңдеулер жиынтығындағы белгілі бір туындыларды артықшылықпен жоятын алгоритмдер, көбінесе дифференциалдық теңдеулер жиынтығын жақсырақ түсіну және оларды шешу үшін қолданылады. Элиминация әдістерінің түрлеріне сипаттамалық жиынтық әдістері, дифференциалдық Гробнер негіздері әдістері және нәтижеге негізделген әдістер жатады. Элиминация алгоритмдерінде жиі қолданылатын операциялар: 1) туындыларды, полиномдарды және полиномдар жиынтығын реттеу, 2) полиномның жетекші туындысын, бастапқы және ажыратушы полиномын анықтау, 3) полиномды кешіру және 4) ерекше полиномдар жиынтығын жасау.
Бастапқы және бөлгіш жетекші туынды
Бұл стандартты полиномиалдық форма:
Бас туынды немесе жетекші туынды – полиномиалдың ең жоғары дәрежелі туындысы:
Коэффициенттерде бас туынды болмайды. Полиномиалдың дәрежесі – бас туындының ең үлкен көрсеткіші:
Бастапқы мүше – коэффициент:
Рангы – полиномиалдың дәрежесіне көтерілген бас туынды:
Сепаратор – туынды:
Сепаратор жиыны – , бастапқы жиыны – және біріктірілген жиыны – .
Leader or leading derivative is the polynomial's highest ranked derivative:
Coefficients do not contain the leading derivative Degree of polynomial is the leading derivative's greatest exponent:
Initial is the coefficient:
Rank is the leading derivative raised to the polynomial's degree:
Separant is the derivative:
Separant set is , initial set is and combined set is .
Көптамалық жиындар
Характерлік жиын – идеалдың барлық авторедукцияланған ішкі жиындарының арасындағы ең төмен дәрежелі авторедукцияланған ішкі жиын, оның ішкі жиындық полиномдық ажыратылымдары идеалға жатпайды. Дельта полиномы жетекшілері ортақ туындыға ие полиномдық жұптарға қолданылады. Полиномдық жұптың жетекші туындылары үшін ең кіші ортақ туынды операторы – , ал дельта полиномы: Когерентті жиын – дельта полиномдық жұптарын нөлге дейін редукциялайтын полиномдық жиын.
The delta polynomial applies to polynomial pair whose leaders share a common derivative, The least common derivative operator for the polynomial pair's leading derivatives is , and the delta polynomial is:
A coherent set is a polynomial set that reduces its delta polynomial pairs to zero.
Розенфельд-Гробнер алгоритмі
Розенфельд-Гробнер алгоритмі радикалдық дифференциалдық идеалды тұрақты радикалдық дифференциалдық идеалдардың шекті қиылысы ретінде жіктейді. Бұл тұрақты дифференциалдық радикалдық идеалдар, сипаттамалық жиынтықтар арқылы көрсетілген, міндетті түрде жай идеалдар емес және көрсету міндетті түрде минималды емес. Мүшелік мәселесі – дифференциалдық полиномның, дифференциалдық полиномиалдар жиынымен құрылған идеалдың мүшесі болатынын анықтау. Розенфельд-Гробнер алгоритмі Гробнер негіздерінің жиынтығын жасайды. Алгоритм полиномның идеалдың мүшесі екенін, тек қана жартылай қысқартылған қалдық полином Гробнер негіздері арқылы құрылған алгебралық идеалдың мүшесі болған жағдайда ғана анықтайды. Розенфельд-Гробнер алгоритмі дифференциалдық теңдеулердің Тейлор қатарына кеңейтуін жасауға көмектеседі.
Дифференциалдық өрістер
1-ші мысал: бір стандартты туындысы бар дифференциалдық мероморфты функциялар өрісі. 2-ші мысал: түзу сызықты дифференциалдық оператормен деривацияланған дифференциалдық өріс.
Алыстыру
Полином үшін ауысу операторы ретінде анықтаңыз.
Ауысу инвариантты оператор ауысу операторымен коммутациялайды:
Пинчерле туындысы, ауысу инвариантты оператордың туындысы, .
A shift invariant operator commutes with the shift operator:
The Pincherle derivative, a derivation of shift invariant operator , is .
Дифференциалдық субблогы
Тұрақтылар тұрақтылардың кіші сақинасын құрайды.
Дифференциалдық идеал
Элемент дифференциалдық сақинада дифференциалдық идеалды жасайды.
Дифференциалдық сақинаның алгебрасы
Тұлғасы бар кез келген сақина алгебра болып табылады. Осылайша, дифференциалдық сақина да алгебра. Егер сақина бірлік сақинасының орталығының кіші сақинасы болса, онда ол алгебра болады. Сондықтан, дифференциалдық сақина өзінің дифференциалдық кіші сақинасының үстінен алгебра болып табылады. Бұл алгебраның кіші сақинасы бойынша табиғи құрылымы.
Арнайы және қалыпты көптіктер
Сақинада икемделіп келтірілмейтін көпмүшелер бар, (қалыпты, квадратсыз) және (ерекше, идеалдық генератор).
Бөлектеуші
Please provide the English text and the existing translation reference. I need both to complete the translation as requested. I will then provide only the final Kazakh translation.
Өздігінен қысқартылған жиынтықтар
Авторедукцияланған жиынтықтар — және . Әрбір жиынтық үшбұрышты болып келеді және олардың әрқайсысы ерекше полиномдық жетекші туындыға ие. Авторедукцияланбаған жиынтықта тек қана жартылай редукцияланған элементтер ғана болады ; бұл жиынтық үшбұрышты емес, себебі полиномдардың жетекші туындылары бірдей.
Символды интеграция
Символдық интеграция Hermite редукциясы, Czichowski алгоритмі, Lazard Rioboo Trager алгоритмі, Horowitz Ostrogradsky алгоритмі, квадратсыз көбейткіштерге жіктеу және арнайы және қалыпты полиномдарға жіктеуді бөлу сияқты полиномдар мен олардың туындыларын қолданатын алгоритмдерді пайдаланады.
Дифференциалдық теңдеулер
Дифференциалдық алгебра дифференциалдық полиномиялық теңдеулер жиынтығының шешімі бар-жоғын анықтай алады. Толық реттілік реті алгебралық шектеулерді анықтауы мүмкін. Жою реті бір немесе таңдалған тәуелсіз айнымалылар тобының дифференциалдық теңдеулерді өрнектеуге болатынын анықтай алады. Үшбұрышты ыдырау және жою ретін қолдану арқылы дифференциалдық теңдеулерді бір дифференциалдық белгісіздік бойынша кезеңдеп шешуге болады. Тағы бір тәсіл – белгілі шешім түрі бар дифференциалдық теңдеулер класын жасау; дифференциалдық теңдеуді оның класына сәйкестендіру теңдеудің шешімін анықтайды. Дифференциалдық алгебралық теңдеулер жүйесінің сандық интеграциясын жеңілдетуге арналған әдістер бар. Хаостық емес сызықтық динамикалық жүйелерді зерттеуде зерттеушілер дифференциалдық жоюды қолданып, дифференциалдық теңдеулерді бір күй айнымалысы бар қалыпты дифференциалдық теңдеулерге келтірді. Олар көп жағдайда сәттілікке жетті, бұл шамамен шешімдерді әзірлеуді, хаосты тиімді бағалауды және Ляпунов функцияларын құруды жеңілдетті. Зерттеушілер дифференциалдық жоюды клеткалық биологияны, бөлімделген биохимиялық модельдерді, параметрлерді бағалауды және биохимиялық реакциялар үшін жартылай тұрақты күй жуықтауын (QSSA) түсіну үшін қолданды. Дифференциалдық Гробнер базаларын пайдаланып, зерттеушілер сызықтық емес дифференциалдық теңдеулердің классикалық емес симметриялық қасиеттерін зерттеді. Басқа қолданыстарға басқару теориясы, модель теориясы және алгебралық геометрия жатады. Дифференциалдық алгебра дифференциалдық айырма теңдеулеріне де қолданылады.
Дифференциалдық градуалды алгебра
Дифференциалдық дәрежелі алгебра — дәрежелі Лейбниц ережесін қанағаттандыратын сызықтық туындысы бар дәрежелі алгебра. Дәрежелі Лейбниц ережесі: вектордың дәрежесімен .
Ашық мәселелер
Ритт проблемасы бір негізгі дифференциалдық идеалдың екінші негізгі дифференциалдық идеалды қамтыса, оны анықтайтын алгоритмнің бар-жоғын сұрайды, егер сипаттама жиындары екі идеалды да анықтаса. Колчиннің тізбектік болжамына сәйкес, берілген өлшемді азайтылмас дифференциалдық алгебралық сан түрлілігі мен кез келген нүкте үшін, V-ден бастап V-ге дейін азайтылмас дифференциалдық алгебралық сан түрліліктерінің ұзақ тізбегі табылады. Якоби шегі болжамы дифференциалдық сан түрлілігінің азайтылмас компонентінің ретінің жоғарғы шегін анықтайды. Полиномдардың реті Якоби санын анықтайды, ал болжам бойынша, осы Якоби саны осы шекті анықтайды.
The Jacobi bound conjecture concerns the upper bound for the order of an differential variety's irreducible component. The polynomial's orders determine a Jacobi number, and the conjecture is the Jacobi number determines this bound.