Введение

Алгебраическое изучение дифференциальных уравнений

В математике дифференциальная алгебра – это, в широком смысле, область математики, состоящая из изучения дифференциальных уравнений и дифференциальных операторов как алгебраических объектов с целью вывода свойств дифференциальных уравнений и операторов без вычисления решений, подобно тому, как полиномиальные алгебры используются для изучения алгебраических многообразий, являющихся множествами решений систем полиномиальных уравнений. Алгебры Вейля и алгебры Ли можно рассматривать как относящиеся к дифференциальной алгебре. В более узком смысле, дифференциальная алгебра относится к теории, введенной Джозефом Риттом в 1950 году, в которой дифференциальные кольца, дифференциальные поля и дифференциальные алгебры – это кольца, поля и алгебры, снабженные конечным числом производных. Природным примером дифференциального поля является поле рациональных функций одной переменной над комплексными числами, где производной является дифференцирование по этой переменной. В более общем случае, каждое дифференциальное уравнение можно рассматривать как элемент дифференциальной алгебры над дифференциальным полем, порожденным (известными) функциями, входящими в уравнение.

История

Джозеф Ритт разработал дифференциальную алгебру, поскольку считал попытки приведения систем дифференциальных уравнений к различным каноническим формам неудовлетворительным подходом. Однако успех методов алгебраического исключения и алгебраической теории многообразий побудил Ритта рассмотреть аналогичный подход и для дифференциальных уравнений. Его усилия привели к публикации первой работы «Многообразия функций, определяемых системами алгебраических дифференциальных уравнений», а также двух книг: «Дифференциальные уравнения с алгебраической точки зрения» и «Дифференциальная алгебра». Эллис Колчин, ученик Ритта, развил эту область и опубликовал труд «Дифференциальная алгебра и алгебраические группы».

Высшие производные

Оператор вывода или вывод высшего порядка — это композиция нескольких выводов. Поскольку выводы дифференциального кольца предполагается коммутирующими, порядок выводов не имеет значения, и оператор вывода может быть записан как

где — рассматриваемые выводы, — неотрицательные целые числа, а показатель степени вывода обозначает количество раз, которое данный вывод входит в композицию оператора. Сумма называется порядком вывода. Если — один из исходных выводов. Если , то получается тождественное отображение, которое обычно рассматривается как единственный оператор вывода нулевого порядка. При таких соглашениях операторы вывода образуют свободный коммутативный моноид над множеством рассматриваемых выводов. Производная элемента дифференциального кольца — это применение к нему оператора вывода, то есть, в указанных обозначениях, . Собственная производная — это производная положительного порядка.

Дифференциальные полиномы

Дифференциальный полином в дифференциальном поле — это формализация концепции дифференциального уравнения, в которой известные функции, входящие в уравнение, принадлежат дифференциальному полю, а неопределённости являются символами для неизвестных функций. Итак, пусть — дифференциальное поле, которое обычно (но не обязательно) является полем рациональных функций (дробей многомерных многочленов), снабжённым дифференцированиями такими, что и если (обычные частные производные). Для определения кольца дифференциальных полиномов с неопределённостями в с дифференцированиями вводят бесконечность новых неопределённостей вида где — любой оператор дифференцирования порядка выше 1. При этом обозначении, — это множество полиномов во всех этих неопределённостях с естественными дифференцированиями (каждый полином включает только конечное число неопределённостей). В частности, даже если , кольцо дифференциальных полиномов не является нётеровым. Это затрудняет теорию обобщения колец многочленов. Однако два факта позволяют осуществить такое обобщение. Во-первых, конечное число дифференциальных полиномов включает в себя конечное число неопределённостей. Следовательно, каждое свойство полиномов, которое касается конечного числа полиномов, остаётся верным для дифференциальных полиномов. В частности, существуют наибольшие общие делители, и кольцо дифференциальных полиномов является областью однозначной факторизации. Второй факт заключается в том, что если поле содержит поле рациональных чисел, то кольца дифференциальных полиномов над удовлетворяют условию восходящей цепи на радикальных дифференциальных идеалах. Эта теорема Ритта вытекает из её обобщения, иногда называемого теоремой о базисе Ритта — Рауденбуша, которая утверждает, что если — алгебра Ритта (то есть дифференциальное кольцо, содержащее поле рациональных чисел), удовлетворяющее условию восходящей цепи на радикальных дифференциальных идеалах, то кольцо дифференциальных полиномов удовлетворяет тому же свойству (переход от унивариантного к многовариантному случаю осуществляется итеративным применением теоремы). Это нётерово свойство влечёт за собой, что в кольце дифференциальных полиномов каждый радикальный дифференциальный идеал I конечно порождён как радикальный дифференциальный идеал; это означает, что существует конечное множество S дифференциальных полиномов, такое что I является наименьшим радикальным дифференциальным идеалом, содержащим S. Это позволяет представлять радикальный дифференциальный идеал таким конечным множеством порождающих элементов и выполнять вычисления с этими идеалами. Однако некоторые обычные вычисления в алгебраическом случае нельзя перенести. В частности, не известен алгоритм для проверки принадлежности элемента радикальному дифференциальному идеалу или равенства двух радикальных дифференциальных идеалов. Другим следствием нётерова свойства является то, что радикальный дифференциальный идеал может быть единственным образом выражен как пересечение конечного числа простых дифференциальных идеалов, называемых существенными простыми компонентами идеала.

Методы удаления

Методы исключения — это алгоритмы, которые избирательно исключают заданный набор производных из системы дифференциальных уравнений, что обычно делается для лучшего понимания и решения этих уравнений. К категориям методов исключения относятся методы характеристических множеств, методы дифференциальных базисов Грёбнера и методы, основанные на результирующем вычислении. Типичные операции, используемые в алгоритмах исключения, включают 1) упорядочивание производных, многочленов и наборов многочленов, 2) определение старшей производной многочлена, начального многочлена и сепара́нты, 3) приведение многочленов и 4) создание специальных наборов многочленов.

Ведущий производный, начальный и сепаративный

Это стандартная форма полинома:
Лидер, или ведущая производная, – это производная полинома наивысшего порядка.
Коэффициенты не включают в себя ведущую производную.
Степень полинома – это наибольший показатель степени ведущей производной.
Начальный член – это коэффициент.
Ранг – это ведущая производная, возведенная в степень полинома.
Сепара́нт – это производная.
Сепара́нтный набор, начальный набор и объединенный набор.

Множества полиномов

Характерный набор — это подмножество с наименьшим рангом среди всех авторедуцированных подмножеств идеала, чьи полиномиальные сепараторы подмножеств не принадлежат идеалу. Дельта-полином применяется к паре многочленов, ведущие члены которых имеют общую производную. Оператор наименьшей общей производной для ведущих производных пары многочленов равен , а дельта-полином выражается следующим образом:

Когерентный набор — это множество многочленов, которое редуцирует свои дельта-полиномиальные пары к нулю.

Алгоритм Розенфельда-Гробнера

Алгоритм Розенфельда–Грёбнера раскладывает радикальный дифференциальный идеал на конечное пересечение регулярных радикальных дифференциальных идеалов. Эти регулярные дифференциальные радикальные идеалы, представленные характеристическими множествами, не обязательно являются простыми идеалами, и представление не обязательно является минимальным. Задача о принадлежности состоит в определении, является ли дифференциальный полином элементом идеала, порожденного множеством дифференциальных полиномов. Алгоритм Розенфельда–Грёбнера генерирует множества базисов Грёбнера. Алгоритм определяет, что полином является элементом идеала тогда и только тогда, когда частично редуцированный остаток является элементом алгебраического идеала, порожденного базисами Грёбнера. Алгоритм Розенфельда–Грёбнера упрощает построение разложений в ряд Тейлора решений дифференциальных уравнений.

Дифференциальные поля

Пример 1: является дифференциальным полем мероморфных функций с единственной стандартной производной. Пример 2: является дифференциальным полем, производной в котором служит линейный дифференциальный оператор.

Вывод

Определите как оператор сдвига для полинома. Инвариантный относительно сдвига оператор коммутирует с оператором сдвига: производная Пинчерле, являющаяся производной инвариантного относительно сдвига оператора, равна .

Дифференциальная подподразделение

Постоянные образуют подкольцо постоянных.

Дифференциальный идеал

Элемент просто порождает дифференциальный идеал в дифференциальном кольце.

Алгебра над дифференциальным кольцом

Любое кольцо с единицей — это алгебра. Следовательно, дифференциальное кольцо — это алгебра. Если кольцо является подкольцом центра унитального кольца, то оно является алгеброй. Таким образом, дифференциальное кольцо является алгеброй над своим дифференциальным подкольцом. Это естественная структура алгебры над своим подкольцом.

Специальные и нормальные многочлены

Кольцо имеет неприводимые многочлены, (нормальные, без свободных членов) и (специальные, образующие идеал).

Сепараторы

Да.

Авторедукционные множества

Авторедукционные множества – это и . Каждое множество является треугольным и имеет различную старшую производную многочлена. Неавторедукционное множество содержит только частично редуцированные элементы относительно ; это множество не является треугольным, поскольку многочлены имеют одинаковую старшую производную.

Символическая интеграция

Символическая интеграция использует алгоритмы, основанные на многочленах и их производных, такие как приведение Гермита, алгоритм Чиховского, алгоритм Лазарда-Риобо-Трагера, алгоритм Хоровица-Остроградского, разложение на множители без квадратов и разложение на множители для специальных и нормальных многочленов.

Дифференциальные уравнения

Дифференциальная алгебра может определить, имеет ли решение система дифференциальных полиномиальных уравнений. Полный порядок ранжирования может выявить алгебраические ограничения. Ранжирование исключения может определить, можно ли выразить дифференциальные уравнения через одну или выбранную группу независимых переменных. Используя треугольную декомпозицию и порядок исключения, можно решать дифференциальные уравнения последовательно, по одному дифференциальному неопределенному за раз. Другой подход заключается в создании класса дифференциальных уравнений с известной формой решения; сопоставление дифференциального уравнения с этим классом позволяет определить его решение. Существуют методы, облегчающие численное интегрирование дифференциально-алгебраической системы уравнений. В исследовании нелинейных динамических систем с хаосом исследователи использовали дифференциальное исключение для сведения дифференциальных уравнений к обыкновенным дифференциальным уравнениям, содержащим одну переменную состояния. Они добились успеха в большинстве случаев, что упростило разработку приближенных решений, эффективную оценку хаоса и построение функций Ляпунова. Исследователи применяют дифференциальное исключение для изучения клеточной биологии, компартментных биохимических моделей, оценки параметров и квазистационарного приближения (QSSA) для биохимических реакций. Используя дифференциальные базисы Грёбнера, исследователи изучали неклассические свойства симметрии нелинейных дифференциальных уравнений. Другие области применения включают теорию управления, теорию моделей и алгебраическую геометрию. Дифференциальная алгебра также применима к дифференциально-разностным уравнениям.

Дифференциальная градуированная алгебра

Дифференциально-градуированная алгебра — это градуированная алгебра с линейным дифференцированием, удовлетворяющим градуированному правилу произведения Лейбница. Градуированное правило произведения Лейбница: с градусом вектора .

Открытые проблемы

В задаче Ритта спрашивается, существует ли алгоритм, который определяет, содержит ли один простой дифференциальный идеал другой простой дифференциальный идеал, когда их характерные множества совпадают. Гипотеза Кольчина о цепях утверждает, что для заданного размерного неразложимого дифференциально-алгебраического многообразия и произвольной точки существует длинная цепь неразложимых дифференциально-алгебраических подмногообразий, соединяющая точку с многообразием V.

Гипотеза об ограничении Якоби касается верхней границы порядка неразложимой компоненты дифференциального многообразия. Порядок многочлена определяет число Якоби, и гипотеза состоит в том, что это число Якоби определяет указанную границу.