Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Ықтималдық теориясының саласы
Branch of probability theory
Жаңарту теориясы – ықтималдық теориясының кез келген ұстау уақыттары үшін Пуассон процесін жалпылайтын саласы. Экспоненциалды түрде таралған ұстау уақытының орнына, жаңарту процесінде шекті орташа мәні бар кез келген тәуелсіз және бірдей таралған (IID) ұстау уақыттары болуы мүмкін. Жаңарту сыйақы процесінде әрбір ұстау уақытында туындайтын сыйақылардың кездейсоқ тізбегі болады, олар IID болып табылады, бірақ ұстау уақыттарынан тәуелсіз болуы міндетті емес. Жаңарту процесінің асимптотикалық қасиеттері үлкен сандар заңы мен орталық шек теоремасына ұқсас. Жаңарту функциясы (келулердің күтілетін саны) және сыйақы функциясы (күтілетін сыйақы шамасы) жаңарту теориясында маңызды рөл атқарады. Жаңарту функциясы рекурсивті интегралдық теңдеуді, яғни жаңарту теңдеуін қанағаттандырады. Негізгі жаңарту теңдеуі, қолайлы теріс емес функциямен конволюцияның шекті мәнін береді. Жаңарту процестерінің суперпозициясын Марков жаңарту процестерінің ерекше жағдайы ретінде зерттеуге болады. Қолданылу салаларына зауытта тозығы жеткен машиналарын ауыстырудың ең тиімді стратегиясын есептеу және түрлі сақтандыру полистерінің ұзақ мерзімді пайдасын салыстыру жатады. Тексеру парадоксы t уақытында жаңарту аралығын бақылау, орташа жаңарту аралығынан үлкен орташа мәні бар аралықты беретінімен байланысты.
Renewal theory is the branch of probability theory that generalizes the Poisson process for arbitrary holding times. Instead of exponentially distributed holding times, a renewal process may have any independent and identically distributed (IID) holding times that have finite mean. A renewal reward process additionally has a random sequence of rewards incurred at each holding time, which are IID but need not be independent of the holding times. A renewal process has asymptotic properties analogous to the strong law of large numbers and central limit theorem. The renewal function (expected number of arrivals) and reward function (expected reward value) are of key importance in renewal theory. The renewal function satisfies a recursive integral equation, the renewal equation. The key renewal equation gives the limiting value of the convolution of with a suitable non negative function. The superposition of renewal processes can be studied as a special case of Markov renewal processes. Applications include calculating the best strategy for replacing worn out machinery in a factory and comparing the long term benefits of different insurance policies. The inspection paradox relates to the fact that observing a renewal interval at time t gives an interval with average value larger than that of an average renewal interval.
Кіріспе
Жаңарту процесі – Пуассон процесінің жалпылауы болып табылады. Құрылымында, Пуассон процесі – оң бүтін сандар жиынындағы үздіксіз уақыт Марков процесі (көбінесе нөлден басталады), онда әрбір бүтін саннан келесіге өту үшін тәуелсіз, экспоненциалды үлестірімге ие ұстау уақыты қарастырылады. Жаңарту процесінде ұстау уақыттарының экспоненциалды үлестіріммен болуы міндетті емес; керісінше, ұстау уақыттары оң сандар арасында кез келген үлестірімге ие болуы мүмкін, тек ұстау уақыттары тәуелсіз және бірдей үлестірілген (IID) болуы керек және сонымен қатар шекті орташа мәні болуы тиіс.
The renewal process is a generalization of the Poisson process. In essence, the Poisson process is a continuous time Markov process on the positive integers (usually starting at zero) which has independent exponentially distributed holding times at each integer before advancing to the next integer, In a renewal process, the holding times need not have an exponential distribution; rather, the holding times may have any distribution on the positive numbers, so long as the holding times are independent and identically distributed (IID) and have finite mean.
Интерпретация
Егер кездейсоқ уақытта болатын оқиғаларды қарастырсақ, онда оқиғалардың екі тізбегі арасындағы уақытты кездейсоқ интервал ретінде қарастырып, оны ұстау уақыты деп атауға болады. Мысалы, егер жаңару процесі әртүрлі машиналардың бұзылу жиілігін модельдесе, онда ұстау уақыты – бір машина екіншісі бұзылғанша өткен уақытты көрсетеді. Пуассон процесі – Марков қасиетіне ие бірегей жаңару процесі, себебі экспоненциалдық таралым – жадысыздық қасиетіне ие бірегей үздіксіз кездейсоқ шама.
If one considers events occurring at random times, one may choose to think of the holding times as the random time elapsed between two consecutive events. For example, if the renewal process is modelling the numbers of breakdown of different machines, then the holding time represents the time between one machine breaking down before another one does. The Poisson process is the unique renewal process with the Markov property, as the exponential distribution is the unique continuous random variable with the property of memorylessness.
Интерпретация
Жоғарыдағы машинаның істен шығу аралығын күту уақыты ретінде қарастыру контекстінде, "сыйлықтар" (бұл жағдайда теріс) машинаның бірден-бір істен шығуының нәтижесінде туындаған жөндеу шығындары ретінде қарастырылуы мүмкін. Басқаша мысал келтерсек, бізде сиқырлы қаз бар, ол белгілі бір интервалмен (күту уақыты) жұмыртқа туады. Кейде ол кездейсоқ салмақтағы алтын жұмыртқалар туады, ал кейде – уытты жұмыртқалар (солар да кездейсоқ салмақта), оларды жауапты түрде (және қымбатқа) жою қажет. "Сыйлықтар" – бұл жұмыртқалардың (i = 1,2,3, ...) бірінен соң бірі тууынан туындаған (кездейсоқ) қаржылық шығындар/кірістер, ал t уақытындағы жалпы қаржылық "сыйлық" тіркеледі.
In the context of the above interpretation of the holding times as the time between successive malfunctions of a machine, the "rewards" (which in this case happen to be negative) may be viewed as the successive repair costs incurred as a result of the successive malfunctions. An alternative analogy is that we have a magic goose which lays eggs at intervals (holding times) distributed as Sometimes it lays golden eggs of random weight, and sometimes it lays toxic eggs (also of random weight) which require responsible (and costly) disposal. The "rewards" are the successive (random) financial losses/gains resulting from successive eggs (i = 1,2,3, ) and records the total financial "reward" at time t.
Үстемдік
Егер жаңарту процесі Пуассон процесі болмаса, екі тәуелсіз жаңарту процесінің суперпозициясы (қосылуы) жаңарту процесі болмайды. Дегенмен, мұндай процестерді Марков жаңарту процестері деп аталатын кеңірек процестер класында сипаттауға болады. Алайда, суперпозициялық процестегі алғашқы оқиғалар аралық уақыттың жиынтық таралу функциясы былай беріледі:
Unless the renewal process is a Poisson process, the superposition (sum) of two independent renewal processes is not a renewal process. However, such processes can be described within a larger class of processes called the Markov renewal processes. However, the cumulative distribution function of the first inter event time in the superposition process is given by
мұнда Rk(t) және αk > 0 – оқиғалар аралық уақыттың жиынтық таралу функциясы (CDF) және k процесінің келу жиілігі.
where Rk(t) and αk > 0 are the CDF of the inter event times and the arrival rate of process k.