Введение
Отрасль теории вероятности
Теория восстановления – это раздел теории вероятности, обобщающий процесс Пуассона для произвольных времен ожидания. Вместо экспоненциально распределенных времен ожидания, процесс восстановления может иметь любые независимые и одинаково распределенные (IID) времена ожидания с конечным математическим ожиданием. Процесс восстановления с вознаграждением дополнительно включает случайную последовательность вознаграждений, получаемых в каждый момент времени ожидания, которые являются IID, но не обязательно независимы от времен ожидания. Процесс восстановления обладает асимптотическими свойствами, аналогичными сильному закону больших чисел и центральной предельной теореме. Функция восстановления (математическое ожидание числа прибытий) и функция вознаграждения (математическое ожидание вознаграждения) играют ключевую роль в теории восстановления. Функция восстановления удовлетворяет рекурсивному интегральному уравнению, называемому уравнением восстановления. Ключевое уравнение восстановления дает предел свертки с подходящей неотрицательной функцией. Суперпозицию процессов восстановления можно изучать как частный случай процессов восстановления Маркова. Области применения включают вычисление оптимальной стратегии замены изношенного оборудования на производстве и сравнение долгосрочных преимуществ различных страховых полисов. Парадокс инспекции связан с тем, что наблюдение интервала восстановления в момент времени t дает интервал со средним значением, превышающим среднее значение типичного интервала восстановления.
Введение
Процесс обновления является обобщением процесса Пуассона. По сути, процесс Пуассона — это непрерывный процесс Маркова на положительных целых числах (обычно начинающийся с нуля), для которого время пребывания в каждом целом числе распределено независимо по экспоненциальному закону перед переходом к следующему целому числу. В процессе обновления время пребывания не обязано иметь экспоненциальное распределение; вместо этого время пребывания может иметь любое распределение на положительных числах, при условии, что времена пребывания независимы и одинаково распределены (IID) и имеют конечную математическую ожидание.
Интерпретация
Если рассматривать события, происходящие в случайные моменты времени, можно представлять время между событиями как случайную величину, отражающую промежуток времени между двумя последовательными событиями. Например, если процесс восстановления моделирует количество поломок различных машин, то время между событиями соответствует времени между поломкой одной машины и поломкой другой. Процесс Пуассона является единственным процессом восстановления, обладающим свойством Маркова, поскольку экспоненциальное распределение – единственная непрерывная случайная величина, обладающая свойством отсутствия последействия.
Интерпретация
В контексте вышеуказанной интерпретации времени безотказной работы как времени между последовательными отказами машины, "выигрыши" (которые в данном случае оказываются отрицательными) можно рассматривать как последовательные затраты на ремонт, возникающие в результате последовательных отказов. Альтернативная аналогия заключается в том, что у нас есть волшебная гусыня, которая откладывает яйца с интервалами (время безотказной работы), распределенными следующим образом: иногда она откладывает золотые яйца случайного веса, а иногда – токсичные яйца (также случайного веса), требующие ответственной (и дорогостоящей) утилизации. "Выигрыши" – это последовательные (случайные) финансовые убытки/прибыли, полученные от последовательных яиц (i = 1, 2, 3, …), а отражает общую финансовую сумму "выигрыша" к моменту времени t.
Наложение
Если процесс обновления не является процессом Пуассона, то суперпозиция (сумма) двух независимых процессов обновления не является процессом обновления. Однако такие процессы могут быть описаны в более широком классе процессов, называемых процессами обновления Маркова. Кумулятивная функция распределения первого межповторного времени в процессе суперпозиции задается выражением
где Rk(t) и αk > 0 – функция распределения межповторного времени и интенсивность потока процесса k соответственно.