Кіріспе
Геометриясы бағытқа тәуелді емес көптүрлілік. Математикада изотроптық көптүрлілік – геометриясы бағытқа тәуелді емес көптүрлілік. Формальды түрде, Риман көптүрлігі изотропты болады, егер кез келген нүкте және бірлік векторлар үшін , оның изометриясы бар және барлық байланысты изотроптық көптүрліліктер біртекті, яғни кез келген үшін оның изометриясы бар. Бұл нүктенің нүктеге дейінгі геодезиялық сызығын қарастырып және нүктені бекітіп, нүктенің нүктеге өтуін қамтамасыз ететін изометрияны қолдану арқылы көруге болады.
In mathematics, an isotropic manifold is a manifold in which the geometry does not depend on directions. Formally, we say that a Riemannian manifold is isotropic if for any point and unit vectors , there is an isometry of with and Every connected isotropic manifold is homogeneous, i. e. for any there is an isometry of with This can be seen by considering a geodesic from to and taking the isometry which fixes and maps to
Мысалдар
Қарапайым байланысқан кеңістік нысандары (n сфера, гиперболалық кеңістік және) изотропты болып табылады. Кез келген тұрақты қисықтық көптігінің изотропты екені жалпы жағдайда дұрыс емес; мысалы, жалпақ тор изотропты емес. Бұл нәрсені кез келген нүктені бекітетін изометрия, сол нүктені бекітіп және сақтап қалатын изометрияға көтерілуі керек екенін ескергенде көруге болады; осылайша, нүктені бекітетін изометриялар тобы дискретті болады. Сонымен қатар, тұрақты қисықтығы бар және теріс Эйлер сипаттамасы бар ешқандай бағытталған бет изотропты емес екенін дәл осылай көруге болады. Сонымен қатар, тұрақты қисықтығы жоқ изотроптық көптіктер де бар, мысалы, Фубини-Зерттеу метрикасымен жабдықталған кешенді проекциялық кеңістік. Шындығында, кез келген тұрақты қисықтық көптігінің әмбебап жабуы сфера, гиперболалық кеңістік немесе болады, бірақ ол жай ғана байланысқан, бірақ сфера емес (мысалы, үшін), бұл фибрацияның ұзын дәл тізбегінен гомотопиялық топтық есептеулер арқылы көрінеді. Изотроптық көптіктердің басқа мысалдары бірінші дәрежелі симметриялық кеңістіктермен беріледі, оның ішінде проекциялық кеңістіктер , , және , сондай-ақ олардың шексіз гиперболалық аналогтары. Көптік біртекті болуы мүмкін, бірақ изотропты емес, мысалы, жазық тор немесе өнім метрикасы бар .
Further examples of isotropic manifolds are given by the rank one symmetric spaces, including the projective spaces , , , and , as well as their noncompact hyperbolic analogues. A manifold can be homogeneous but not isotropic, such as the flat torus or with the product metric.