Введение

Многообразие, в котором геометрия не зависит от направлений.

В математике изотропное многообразие — это многообразие, геометрия которого не зависит от направлений. Формально, мы говорим, что риманово многообразие является изотропным, если для любой точки и единичных векторов существует изометрия с и . Каждое связное изотропное многообразие однородно, то есть для любого существует изометрия с . Это можно увидеть, рассмотрев геодезическую из в и взяв изометрию, которая фиксирует и отображает в .

Примеры

Простые связные пространства (n-сфера, гиперболическое пространство и ℝⁿ) являются изотропными. В общем случае неверно, что любое многообразие постоянной кривизны является изотропным; например, плоский тор не является изотропным. Это можно увидеть, заметив, что любая изометрия ℝⁿ, фиксирующая точку, может быть поднята до изометрии, фиксирующей точку и сохраняющей ориентацию; таким образом, группа изометрий ℝⁿ, фиксирующих точку, дискретна. Более того, аналогичным образом можно показать, что любая ориентированная поверхность с постоянной кривизной и отрицательной характеристикой Эйлера не является изотропной. Кроме того, существуют изотропные многообразия, не имеющие постоянной кривизны, такие как комплексное проективное пространство ℂPⁿ, снабженное метрикой Фубини-Штуди. Действительно, универсальная накрывающая любого многообразия постоянной кривизны является либо сферой, либо гиперболическим пространством, либо ℝⁿ. Однако ℝⁿ просто связно, но не является сферой (для n > 1), что можно увидеть, например, из вычислений гомотопических групп, полученных из точной последовательности фибрации. Дальнейшие примеры изотропных многообразий даются симметричными пространствами ранга один, включая проективные пространства ℝPⁿ, ℂPⁿ, ℍPⁿ и QHPⁿ, а также их некомпактные гиперболические аналоги. Многообразие может быть однородным, но не изотропным, например, плоский тор ℝⁿ/ℤⁿ или Tⁿ с метрикой произведения.