Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Бір жазықтықта жатпайтын түзулер
Lines not in the same plane
Үш өлшемді геометрияда, бұрмаланған түзулер – қиылыспайтын және параллель емес екі түзу. Бұрмаланған түзулердің қарапайым мысалы – дұрыс тетраэдрдің қарама-қарсы қырлары арқылы өтетін түзулер жұбы. Егер екі түзу бір жазықтықта жатса, олар өзара қиылысуы немесе параллель болуы керек, сондықтан бұрмаланған түзулер тек үш немесе одан көп өлшемде ғана болуы мүмкін. Екі түзу бұрмаланған болады, егер және тек қана олар бір жазықтықта жатпаса.
In three dimensional geometry, skew lines are two lines that do not intersect and are not parallel. A simple example of a pair of skew lines is the pair of lines through opposite edges of a regular tetrahedron. Two lines that both lie in the same plane must either cross each other or be parallel, so skew lines can exist only in three or more dimensions. Two lines are skew if and only if they are not coplanar.
Жалпы ұстаным
Егер бірлік кубтың ішінде төрт нүкте кездейсоқ біркелкі таңдалса, олар дерлік сөзсіз екі қиық сызықты анықтайды. Алғашқы үш нүкте таңдалғаннан кейін, төртінші нүкте қиық емес сызықты анықтайды, егер және тек қана ол алғашқы үш нүктемен бір жазықтықта жатса. Дегенмен, бірінші үш нүкте арқылы өтетін жазықтық кубтың нөлдік өлшемді жиыны болып табылады, және төртінші нүкте осы жазықтықта жату ықтималдығы нөлге тең. Егер олай болмаса, нүктелермен анықталған сызықтар қиық болады. Сол сияқты, үш өлшемді кеңістікте кез келген екі параллель немесе қиылысатын сызықтың ең кішкентай өзгеруі оларды дерлік әрқашан қиық сызықтарға айналдырады. Сондықтан, жалпы жағдайдағы кез келген төрт нүкте әрқашан қиық сызықтар құрайды. Осы тұрғыдан алғанда, қиық сызықтар – "қалыпты" жағдай, ал параллель немесе қиылысатын сызықтар – ерекше жағдайлар.
If four points are chosen at random uniformly within a unit cube, they will almost surely define a pair of skew lines. After the first three points have been chosen, the fourth point will define a non skew line if, and only if, it is coplanar with the first three points. However, the plane through the first three points forms a subset of measure zero of the cube, and the probability that the fourth point lies on this plane is zero. If it does not, the lines defined by the points will be skew. Similarly, in three dimensional space a very small perturbation of any two parallel or intersecting lines will almost certainly turn them into skew lines. Therefore, any four points in general position always form skew lines. In this sense, skew lines are the "usual" case, and parallel or intersecting lines are special cases.
Қисықтықты тексеру
Егер екі қисық сызықтың әрқайсысы екі нүкте арқылы анықталса, онда осы төрт нүкте бір жазықтықта жатпауы керек, демек олар нөлдік емес көлемді тетраэдрдің төбелері болуы керек. Керісінше, нөлдік емес көлемді тетраэдрді анықтайтын кез келген екі жұп нүкте де екі қисық сызықты анықтайды. Сондықтан, екі жұп нүктенің қисық сызықтарды анықтайтынын тексеру үшін, тетраэдрдің көлемін оның төрт төбесі арқылы есептеу формуласын қолдану қажет. Бір нүктені 1×3 вектор 'a' деп белгілеп, оның үш элементі сол нүктенің үш координатасы болсын, ал қалған нүктелерді 'b', 'c' және 'd' деп белгілей отырып, 'a' және 'b' арқылы өтетін түзудің 'c' және 'd' арқылы өтетін түзуге қиылысатындығын тексеру үшін тетраэдр көлемі формуласы нөлдік емес мән беретінін қарастыруға болады.
If each line in a pair of skew lines is defined by two points that it passes through, then these four points must not be coplanar, so they must be the vertices of a tetrahedron of nonzero volume. Conversely, any two pairs of points defining a tetrahedron of nonzero volume also define a pair of skew lines. Therefore, a test of whether two pairs of points define skew lines is to apply the formula for the volume of a tetrahedron in terms of its four vertices. Denoting one point as the 1×3 vector 'a' whose three elements are the point's three coordinate values, and likewise denoting 'b', 'c', and 'd' for the other points, we can check if the line through 'a' and 'b' is skew to the line through 'c' and 'd' by seeing if the tetrahedron volume formula gives a non zero result:
Конфигурациялар
Скив түзулердің конфигурациясы – барлық жұптары қиылыспайтын түзулер жиынтығы. Екі конфигурация изотоптық деп аталады, егер бір конфигурацияны үздіксіз түрлендіру арқылы екіншісіне келтіру мүмкін болса, мұнда түрлендіру кезінде түзулердің барлық жұптары қиылыспай қала береді. Екі түзудің кез келген екі конфигурациясы изотоптық болып табылады, ал үштен жоғары өлшемдегі бірдей санды түзулердің конфигурациялары әрқашан изотоптық болады, бірақ үш немесе одан көп түзудің үш өлшемдегі изотоптық емес конфигурациялары бар. R3 кеңістігінде n = 1-ден басталатын n түзудің изотоптық емес конфигурацияларының саны: 1, 1, 2, 3, 7, 19, 74, ... .
A configuration of skew lines is a set of lines in which all pairs are skew. Two configurations are said to be isotopic if it is possible to continuously transform one configuration into the other, maintaining throughout the transformation the invariant that all pairs of lines remain skew. Any two configurations of two lines are easily seen to be isotopic, and configurations of the same number of lines in dimensions higher than three are always isotopic, but there exist multiple non isotopic configurations of three or more lines in three dimensions. The number of nonisotopic configurations of n lines in R3, starting at n = 1, is
1, 1, 2, 3, 7, 19, 74, .
Қалыпталған беттер
Егер L сызығын басқа M сызығының айналыс осі ретінде айналдырса, бірақ олар перпендикуляр болмаса, L сызығымен түзілген айналыс беті бір қабатты гиперболоид болады. Мысалы, иллюстрацияда көрсетілген үш гиперболоидты осылай жасауға болады: L сызығын орталық, ақ түсті тік M сызығының айналыс осі ретінде пайдаланып айналдыру арқылы. Бұл беттегі L сызығының көшірмелері бір регуляр құрайды; гиперболоидта екінші сызықтар туысы да бар, олар M сызығына L сызығымен бірдей қашықтықта орналасқан, бірақ кері бұрышпен, және кері регуляр құрайды. Екі регуляр гиперболоидты басқарылатын бет ретінде көрсетеді. Бұл басқарылатын беттің аффиндік түрлендіруі L сызығын L сызығының айналыс осі ретінде айналдыру арқылы алынатын дөңгелек қимадан гөрі эллипстік қимаға ие бетті тудырады; мұндай беттер де бір қабатты гиперболоидтар деп аталады және екі өзара қисық сызықтар туысымен басқарылады. Үшінші типті басқарылатын бет – гиперболалық параболоид. Бір қабатты гиперболоид сияқты, гиперболалық параболоидтың да екі қисық сызықтар туысы бар; екі туыстағы сызықтар бір-біріне емес, ортақ жазықтыққа параллель. R3 кеңістігіндегі кез келген үш қисық сызық осы типтердің бірінің тек бір басқарылатын бетінде жатады.
If one rotates a line L around another line M skew but not perpendicular to it, the surface of revolution swept out by L is a hyperboloid of one sheet. For instance, the three hyperboloids visible in the illustration can be formed in this way by rotating a line L around the central white vertical line M. The copies of L within this surface form a regulus; the hyperboloid also contains a second family of lines that are also skew to M at the same distance as L from it but with the opposite angle that form the opposite regulus. The two reguli display the hyperboloid as a ruled surface. An affine transformation of this ruled surface produces a surface which in general has an elliptical cross section rather than the circular cross section produced by rotating L around L'; such surfaces are also called hyperboloids of one sheet, and again are ruled by two families of mutually skew lines. A third type of ruled surface is the hyperbolic paraboloid. Like the hyperboloid of one sheet, the hyperbolic paraboloid has two families of skew lines; in each of the two families the lines are parallel to a common plane although not to each other. Any three skew lines in R3 lie on exactly one ruled surface of one of these types.
Галлуччи теоремасы
Егер үш бұрыс түзу үш басқа бұрыс түзумен қиылысса, онда бірінші үштіктің кез келген көлденеңі екінші үштіктің кез келген көлденеңімен қиылысады.
If three skew lines all meet three other skew lines, any transversal of the first set of three meets any transversal of the second set.