Введение

Линии, не лежащие в одной плоскости

В трехмерной геометрии, скрещивающиеся линии — это две линии, которые не пересекаются и не параллельны. Простым примером пары скрещивающихся линий является пара линий, проходящих через противоположные ребра правильного тетраэдра. Две линии, лежащие в одной плоскости, должны либо пересекаться, либо быть параллельными, поэтому скрещивающиеся линии могут существовать только в трех или более измерениях. Две линии являются скрещивающимися тогда и только тогда, когда они не компланарны.

Общая позиция

Если четыре точки выбраны случайным образом и равномерно в единичном кубе, то почти наверняка они определят пару скрещивающихся прямых. После выбора первых трех точек, четвертая точка определит нескрещивающуюся прямую тогда и только тогда, когда она будет лежать в одной плоскости с первыми тремя точками. Однако плоскость, проходящая через первые три точки, составляет подмножество меры нуль в объеме куба, и вероятность того, что четвертая точка лежит на этой плоскости, равна нулю. Если же это не происходит, то прямые, определяемые этими точками, будут скрещивающимися. Аналогично, в трехмерном пространстве очень небольшое изменение любых двух параллельных или пересекающихся прямых почти наверняка превратит их в скрещивающиеся прямые. Следовательно, любые четыре точки в общем положении всегда образуют скрещивающиеся прямые. В этом смысле скрещивающиеся прямые являются "обычным" случаем, а параллельные или пересекающиеся прямые – особыми случаями.

Испытание на уклончивость

Если каждая прямая в паре скрещивающихся прямых определяется двумя точками, через которые она проходит, то эти четыре точки не должны лежать в одной плоскости, следовательно, они должны быть вершинами тетраэдра ненулевого объема. Обратно, любые две пары точек, определяющие тетраэдр ненулевого объема, также определяют пару скрещивающихся прямых. Таким образом, для проверки, определяют ли две пары точек скрещивающиеся прямые, следует применить формулу объема тетраэдра, выраженную через его четыре вершины. Обозначая одну точку как вектор 1×3 'a', три элемента которого являются тремя координатами точки, и аналогично обозначая 'b', 'c' и 'd' для остальных точек, мы можем проверить, являются ли прямая, проходящая через 'a' и 'b', и прямая, проходящая через 'c' и 'd', скрещивающимися, проверив, дает ли формула объема тетраэдра ненулевой результат.

Конфигурации

Конфигурация скрещивающихся прямых — это набор прямых, в котором все пары являются скрещивающимися. Две конфигурации называются изотопными, если можно непрерывно преобразовать одну конфигурацию в другую, сохраняя на протяжении всего преобразования инвариант, согласно которому все пары прямых остаются скрещивающимися. Любые две конфигурации из двух прямых легко оказываются изотопными, а конфигурации с одинаковым количеством прямых в пространствах размерности выше трех всегда изотопны, но существует множество неизотопных конфигураций из трех или более прямых в трехмерном пространстве. Количество неизотопных конфигураций n прямых в R3, начиная с n = 1, равно 1, 1, 2, 3, 7, 19, 74, .

Поверхности с рулоном

Если вращать линию L вокруг другой прямой M, не перпендикулярной ей, поверхность вращения, образованная линией L, является гиперболоидом одного листа. Например, три гиперболоида, видимые на иллюстрации, могут быть получены таким образом, вращая линию L вокруг центральной белой вертикальной линии M. Копии L, лежащие на этой поверхности, образуют регулус; гиперболоид также содержит второе семейство линий, которые также скручены относительно M на том же расстоянии от нее, что и L, но под противоположным углом, образуя противоположный регулус. Два регулуса демонстрируют, что гиперболоид является разверткой. Аффинное преобразование этой развертки дает поверхность, которая в общем случае имеет эллиптическое поперечное сечение, а не круговое, получаемое при вращении L вокруг L'; такие поверхности также называются гиперболоидами одного листа и также являются развертками, определяемыми двумя семействами взаимно скрученных линий. Третий тип развертки – гиперболический параболоид. Как и гиперболоид одного листа, гиперболический параболоид имеет два семейства скрученных линий; в каждом из этих семейств линии параллельны одной и той же плоскости, но не друг другу. Любые три скрученные линии в R3 лежат на единственной развертке одного из этих типов.

Теорема Галлуччи

Если три непересекающиеся прямые пересекаются с тремя другими непересекающимися прямыми, то любая секущая первой тройки пересекается с любой секущей второй тройки.