Кіріспе
Дифференциалдық теңдеулерді зерттеуде Риц әдісі – шекаралық мәселелерге жуық шешім табудың тікелей әдісі. Бұл әдіс Уолтер Рицтің есімімен аталады. Кейбір баламалы түрлеріне Рейли-Риц әдісі және Риц-Галеркин әдісі жатады. Кванттық механикада бөлшектер жүйесін "энергиялық функционал" немесе Гамильтондық арқылы сипаттауға болады, ол аталған бөлшектердің кез келген ұсынылған конфигурациясының энергиясын өлшейді. Кейбір ерекше конфигурациялар басқа конфигурацияларға қарағанда жиі кездесетіні анықталды, және бұл Гамильтондық жүйенің өзіндік талдауымен ("сипаттамаларды талдау") байланысты. Бөлшектердің шексіз конфигурацияларының барлығын ең аз энергияға ие конфигурацияны табу үшін талдау мүмкін болмағандықтан, сандық есептеулер үшін Гамильтонды бір жолмен жуықтау қажет болады. Осы мақсатқа жету үшін Риц әдісін қолдануға болады. Математика тілінде, бұл Гамильтондық жүйенің өзіндік векторларын және өзіндік мәндерін есептеу үшін қолданылатын шекті элементтер әдісі.
Екілі пружиналы массалық жүйенің қарапайым жағдайы
Келесі талқылау ең қарапайым жағдайды қолданады, онда жүйеде екі жиынтық серіппе және екі жиынтық масса бар, және тек екі режимдік пішін қабылданады. Сондықтан 1=M = [m1, m2] және 1=K = [k1, k2]. Жүйе үшін режимдік пішін қабылданады, оның екі термині бар, олардың біреуі B коэффициентімен салмақталған, мысалы, Y = [1, 1] + B[1, -1]. Жай гармоникалық қозғалыс теориясы бойынша, иілу нөлге тең болған кездегі жылдамдық, максималды иілу кезіндегі бұрыштық жиілікке иілудің (y) мәнін көбейтуге тең. Бұл мысалда әрбір массаның кинетикалық энергиясы (КЭ) және т.б., ал әрбір серіппенің потенциалдық энергиясы (ПЭ) және т.б. Біз сондай-ақ демпферлеу болмаған жағдайда, максималды КЭ максималды ПЭ-ге тең екенін білеміз. Осылайша, режимдік пішіннің жалпы амплитудасы әрқашан екі жағынан да өшіріледі. Яғни, қабылданған иілудің нақты мөлшері маңызды емес, тек режимдік пішін ғана маңызды. Математикалық түрлендірулер B арқылы өрнектейтін , оны B-ға қатысты дифференциалдау арқылы ең төменгі мәнді табуға болады, яғни , бұл B-ның ең төменгі мәнін береді. Егер жүйедегі болжамды негізгі жиілік болса, онда бұл жоғарғы шекті шешім болады, өйткені режимдік пішін қабылданады, бірақ біз берілген шарттар бойынша осы жоғарғы шектің ең төменгі мәнін таптық, өйткені B екі қабылданған режимдік пішін функциясының оңтайлы «қоспасын» табу үшін қолданылады. Бұл әдісте көптеген тәсілдер бар, ең маңыздысы – шынайы режимдік пішінді таңдау. Мысалы, қабырғаның иілу мәселесінде, күтілетін шешімге ұқсас деформацияланған пішінды пайдалану орынды. Төртінші дәрежелі функция қарапайым байланысқан қабырғалардың көптеген оңай мәселелеріне сәйкес келуі мүмкін, тіпті деформацияланған шешімнің дәрежесі төмен болса да. Серіппелер мен массалар дискретті болуы міндетті емес, олар үздіксіз (немесе аралас) болуы мүмкін, және бұл әдіс электрондық кестеде өте күрделі үлестірілген жүйелердің табиғи жиіліктерін табу үшін оңай қолданылады, егер үлестірілген КЭ және ПЭ терминдерін оңай сипаттасаңыз немесе үздіксіз элементтерді дискретті бөліктерге бөлсеңіз. Бұл әдіс итеративті түрде қолданылуы мүмкін, бұрынғы ең жақсы шешімге қосымша режимдік пішіндерді қосу арқылы, немесе көптеген B-лер мен көптеген режимдік пішіндермен ұзақ өрнек құрастырып, содан кейін оларды жартылай дифференциалдауға болады.
The overall amplitude of the mode shape cancels out from each side, always. That is, the actual size of the assumed deflection does not matter, just the mode shape. Mathematical manipulations then obtain an expression for , in terms of B, which can be differentiated with respect to B, to find the minimum, i. e. when This gives the value of B for which is lowest. This is an upper bound solution for if is hoped to be the predicted fundamental frequency of the system because the mode shape is assumed, but we have found the lowest value of that upper bound, given our assumptions, because B is used to find the optimal 'mix' of the two assumed mode shape functions. There are many tricks with this method, the most important is to try and choose realistic assumed mode shapes. For example, in the case of beam deflection problems it is wise to use a deformed shape that is analytically similar to the expected solution. A quartic may fit most of the easy problems of simply linked beams even if the order of the deformed solution may be lower. The springs and masses do not have to be discrete, they can be continuous (or a mixture), and this method can be easily used in a spreadsheet to find the natural frequencies of quite complex distributed systems, if you can describe the distributed KE and PE terms easily, or else break the continuous elements up into discrete parts. This method could be used iteratively, adding additional mode shapes to the previous best solution, or you can build up a long expression with many Bs and many mode shapes, and then differentiate them partially.
Шекті элементтер әдісімен байланыс
Шекті элементтер әдісінің тілінде матрица – бұл бөлшектеп сызықты элементтер кеңістігіндегі Гамильтонианның қатаңдық матрицасы, ал матрица – бұл масса матрицасы. Сызықтық алгебра тілінде мән – дискреттелген Гамильтонианның өзіндік мәні, ал вектор – дискреттелген өзіндік вектор.
Қағаздар
Уолтер Риц (1909) «Математикалық физиканың белгілі бір вариациялық проблемаларын шешудің жаңа әдісі туралы» Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 135-том, 1–61-беттер. Онлайнда қолжетімді: http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=261182. J. K. MacDonald, «Rayleigh–Ritz вариациялық әдісі арқылы кезеңдік жуықтаулар», Phys. Rev. 43 (1933) 830. Онлайнда қолжетімді: http://journals.aps.org/pr/abstract/10.1103/PhysRev.43.830.