Введение
В исследовании дифференциальных уравнений метод Рица является прямым методом нахождения приближенного решения краевых задач. Метод назван в честь Вальтера Рица. Некоторые альтернативные формулировки включают метод Рэлея — Рица и метод Ритца — Галеркина. В квантовой механике система частиц может быть описана с помощью "функционала энергии" или гамильтониана, который определяет энергию любой предложенной конфигурации этих частиц. Оказывается, что определенные конфигурации более вероятны, чем другие, и это связано с анализом собственных значений (или характеристик) этой гамильтоновой системы. Поскольку часто невозможно проанализировать все бесконечное множество конфигураций частиц для нахождения конфигурации с наименьшей энергией, становится необходимым приближать гамильтониан для численных расчетов. Метод Рица позволяет достичь этой цели. С математической точки зрения, это, по сути, метод конечных элементов, используемый для вычисления собственных векторов и собственных значений гамильтоновой системы.
Простой случай системы с двойной массой пружины
В следующем обсуждении рассматривается простейший случай, когда система состоит из двух сосредоточенных пружин и двух сосредоточенных масс, и предполагается наличие только двух собственных форм. Следовательно, 1=M = [m1, m2] и 1=K = [k1, k2]. Для системы предполагается собственная форма, состоящая из двух слагаемых, одно из которых имеет вес, определяемый коэффициентом B, например, Y = [1, 1] + B[1, −1]. Согласно теории простых гармонических колебаний, скорость в момент, когда отклонение равно нулю, равна угловой частоте, умноженной на отклонение (y) в момент максимального отклонения. В этом примере кинетическая энергия (KE) для каждой массы равна и т.д., а потенциальная энергия (PE) для каждой пружины равна и т.д. Мы также знаем, что в отсутствие демпфирования максимальная KE равна максимальной PE. Таким образом, общая амплитуда собственной формы всегда исключается из обеих частей уравнения. То есть, абсолютный размер предполагаемого отклонения не имеет значения, важна только собственная форма. Последующие математические преобразования позволяют получить выражение для , выраженное через B, которое можно продифференцировать по B для нахождения минимума, то есть когда . Это дает значение B, при котором достигает минимального значения. Это решение является верхней оценкой для , если предполагается, что будет предсказанной собственной частотой системы, поскольку собственная форма задана. Однако мы нашли наименьшее значение этой верхней оценки, учитывая наши предположения, поскольку B используется для определения оптимального "сочетания" двух предполагаемых функций собственной формы. В этом методе есть множество тонкостей, и наиболее важным является стремление выбирать реалистичные предполагаемые собственные формы. Например, при решении задач об изгибе балки целесообразно использовать деформированную форму, аналитически близкую к ожидаемому решению. Квартичная функция может хорошо описывать большинство простых задач для просто опертых балок, даже если порядок деформированного решения может быть ниже. Пружины и массы не обязательно должны быть дискретными, они могут быть непрерывными (или представлять собой смесь), и этот метод можно легко использовать в табличном процессоре для определения собственных частот достаточно сложных распределенных систем, если удается легко описать распределенные члены KE и PE, или же разбить непрерывные элементы на дискретные части. Этот метод можно использовать итеративно, добавляя дополнительные собственные формы к предыдущему наилучшему решению, или можно построить длинное выражение с множеством коэффициентов B и собственных форм, а затем продифференцировать его по частным производным.
The overall amplitude of the mode shape cancels out from each side, always. That is, the actual size of the assumed deflection does not matter, just the mode shape. Mathematical manipulations then obtain an expression for , in terms of B, which can be differentiated with respect to B, to find the minimum, i. e. when This gives the value of B for which is lowest. This is an upper bound solution for if is hoped to be the predicted fundamental frequency of the system because the mode shape is assumed, but we have found the lowest value of that upper bound, given our assumptions, because B is used to find the optimal 'mix' of the two assumed mode shape functions. There are many tricks with this method, the most important is to try and choose realistic assumed mode shapes. For example, in the case of beam deflection problems it is wise to use a deformed shape that is analytically similar to the expected solution. A quartic may fit most of the easy problems of simply linked beams even if the order of the deformed solution may be lower. The springs and masses do not have to be discrete, they can be continuous (or a mixture), and this method can be easily used in a spreadsheet to find the natural frequencies of quite complex distributed systems, if you can describe the distributed KE and PE terms easily, or else break the continuous elements up into discrete parts. This method could be used iteratively, adding additional mode shapes to the previous best solution, or you can build up a long expression with many Bs and many mode shapes, and then differentiate them partially.
Связь с методом конечных элементов
На языке метода конечных элементов матрица является точно матрицей жесткости гамильтониана в пространстве кусочно-линейных элементов, а матрица – матрицей масс. На языке линейной алгебры значение является собственным числом дискретизированного гамильтониана, а вектор – дискретизированным собственным вектором.
Бумаги
Уолтер Риц (1909) "О новом методе решения некоторых вариационных задач математической физики" Журнал чистой и прикладной математики, т. 135, стр. 1–61. Доступно в сети Интернет по адресу: http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=261182. J. K. MacDonald, "Последовательные приближения методом вариации Рэйли-Рица", Phys. Rev. 43 (1933) 830. Доступно в сети Интернет по адресу: http://journals.aps.org/pr/abstract/10.1103/PhysRev.43.830