Кіріспе

Физикалық өріс теорияларындағы артық еркіндік дәрежелерімен күресу процедурасы

Гейдж теорияларының физикасында гейджті бекіту (гейдж таңдау деп те аталады) өріс айнымалыларындағы артық еркіндік дәрежелерімен күресуге арналған математикалық процедураны білдіреді. Анықтама бойынша, гейдж теориясы жүйенің әрбір физикалық жағынан ерекшеленетін конфигурациясын егжей-тегжейлі жергілікті өріс конфигурацияларының эквиваленттік класы ретінде көрсетеді. Бір эквиваленттік кластағы кез келген екі егжей-тегжейлі конфигурация белгілі бір түрлендіру арқылы байланысты, ол конфигурация кеңістігіндегі физикалық емес осьтер бойымен жылжуға тең. Гейдж теориясының көптеген сандық физикалық болжамдарын осы физикалық емес еркіндік дәрежелерін басу немесе елемеу үшін үйлесімді нұсқаулар арқылы ғана алуға болады. Деректі конфигурациялар кеңістігіндегі физикалық емес осьтер физикалық модельдің негізгі қасиеті болғанымен, оларға "перпендикуляр" бағыттардың ерекше жиынтығы жоқ. Сондықтан, әрбір физикалық конфигурацияны нақты конфигурациямен (немесе тіпті олардың салмақты үлестірілімімен) көрсететін "қиманы" алуда зор еркіндік бар. Дұрыс гейджті бекіту есептеулерді едәуір жеңілдетеді, бірақ физикалық модельдің шындыққа жақындауына байланысты ол прогрессивті түрде қиындап барады; кванттық өріс теориясына қолданылуы қайта нормалаумен байланысты асқынуларға толы, әсіресе есептеулер жоғары тәртіптерге дейін жалғасқанда. Тарихи тұрғыдан алғанда, логикалық тұрғыдан дұрыс және есептеуге қолжетімді гейджті бекіту процедураларын іздеу және көптеген техникалық қиындықтарға қарамастан олардың эквиваленттілігін көрсетуге бағытталған күш-жігер математикалық физиканың 19 ғасырдың соңынан бүгінгі күнге дейінгі дамуының маңызды қозғаушы күші болды.

Астарлы әңгіме

Өлшегішті бекітудің мысалы ретінде цилиндрлі таяқты қарастырып, оның бұрылысқанын анықтауға тырысуға болады. Егер таяқ мүлтіксіз цилиндрлі болса, қимасының шеңберлік симметриясы оның бұрылысын немесе бұрылмауын анықтау мүмкін емес етеді. Бірақ, егер таяқтың бойымен түзу сызық жүргізілсе, сызықтың күйіне қарап бұрылыс бар-жоғын оңай білуге болады. Сызық жүргізу – өлшегішті бекіту. Сызық жүргізу өлшегіш симметрияны бұзады, яғни таяқтың әр нүктесіндегі көлденең қимасының U(1) шеңберлік симметриясын. Сызық – өлшегіш функцияға тең; ол міндетті түрде түзу болуы қажет емес. Кез келген сызық жарамды өлшегіш бекіту болып табылады, яғни өлшегіштің кең еркіндігі бар. Қорыта айтқанда, таяқтың бұрылысын анықтау үшін өлшегіш белгілі болуы керек. Бұрылу энергиясы сияқты физикалық шамалар өлшегіштен тәуелді емес, яғни олар өлшегіш инвариантты.

Максималды абельдік диаметрі

Кез келген абельдік емес калибрлік теориясында, кез келген максималды абельдік калибр – бұл максималды абельдік кіші топтан тыс калибрлік еркіндікті бекітетін толық емес калибр. Мысалдар: D өлшемдегі SU(2) калибрлік теориясы үшін максималды абельдік кіші топ – U(1) кіші тобы. Егер бұл Паули матрицасы σ3 арқылы туындатылса, онда максималды абельдік калибр функцияны максимизациялайды, мұнда . D өлшемдегі SU(3) калибрлік теориясы үшін максималды абельдік кіші топ – U(1)×U(1) кіші тобы. Егер бұл Гелл-Манн матрицалары λ3 және λ8 арқылы туындатылса, онда максималды абельдік калибр функцияны максимизациялайтын функция болады, мұнда . Бұл жоғары алгебраларда (алгебралардағы топтар үшін) тұрақты қолданылады, мысалы Клиффорд алгебрасы және осылай жиі кездеседі.

Әдеттегідей қолданылмайтын өлшегіштер

Әдебиетте нақты жағдайларда тиімді болуы мүмкін әртүрлі басқа да көрсеткіштер пайда болды.