Введение

Процедура работы с избыточными степенями свободы в физических теориях поля

В физике калибровочных теорий, фиксация калибровки (также называемая выбором калибровки) обозначает математическую процедуру для работы с избыточными степенями свободы в переменных поля. По определению, калибровочная теория представляет каждую физически отличную конфигурацию системы как класс эквивалентности детальных локальных конфигураций поля. Любые две детальные конфигурации в одном и том же классе эквивалентности связаны определенным преобразованием, эквивалентным сдвигу вдоль нефизических осей в пространстве конфигураций. Большинство количественных физических предсказаний калибровочной теории могут быть получены только при использовании последовательного подхода для подавления или игнорирования этих нефизических степеней свободы. Хотя нефизические оси в пространстве детальных конфигураций являются фундаментальным свойством физической модели, не существует специального набора направлений, "перпендикулярных" к ним. Следовательно, существует огромная свобода при выборе "сечения", представляющего каждую физическую конфигурацию конкретной детальной конфигурацией (или даже взвешенным распределением таких конфигураций). Разумная фиксация калибровки может значительно упростить вычисления, но становится все сложнее по мере того, как физическая модель становится более реалистичной; ее применение к квантовой теории поля сопряжено с осложнениями, связанными с перенормировкой, особенно при вычислениях, продолжаемых до более высоких порядков. Исторически, поиск логически непротиворечивых и вычислительно реализуемых процедур фиксации калибровки, а также усилия по доказательству их эквивалентности перед лицом множества технических трудностей, были одним из основных двигателей математической физики с конца девятнадцатого века и по настоящее время.

Иллюстрация

В качестве иллюстрации к фиксации калибра можно рассмотреть цилиндрический стержень и попытаться определить, скручен ли он. Если стержень идеально цилиндрический, то круговая симметрия его поперечного сечения делает невозможным определить, скручен он или нет. Однако, если на стержне провести прямую линию вдоль его длины, то можно легко определить наличие скручивания, наблюдая за состоянием этой линии. Проведение линии и есть фиксация калибра. Проведение линии нарушает калибровочную симметрию, то есть круговую симметрию U(1) поперечного сечения в каждой точке стержня. Эта линия эквивалентна калибровочной функции; она не обязана быть прямой. Почти любая линия является допустимой фиксацией калибра, то есть существует большая свобода выбора калибра. Таким образом, чтобы определить, скручен ли стержень, необходимо знать калибр. Физические величины, такие как энергия кручения, не зависят от выбора калибра, то есть являются калибровочно-инвариантными.

Максимальная абелева диаметра

В любой неабелевой калибровочной теории любая максимальная абелева калибровка является неполной калибровкой, фиксирующей калибровочную свободу вне максимальной абелевой подгруппы. Примеры:

Для калибровочной теории SU(2) в D измерениях максимальная абелева подгруппа является подгруппой U(1). Если в качестве такой подгруппы выбрать ту, что порождается матрицей Паули σ3, то максимальная абелева калибровка – это та, которая максимизирует функцию, где

Для калибровочной теории SU(3) в D измерениях максимальная абелева подгруппа является подгруппой U(1) × U(1). Если в качестве такой подгруппы выбрать ту, что порождается матрицами Гелл-Манна λ3 и λ8, то максимальная абелева калибровка – это та, которая максимизирует функцию, где

Это регулярно применяется в высших алгебрах (алгебрах групп), например, в алгебре Клиффорда, и так происходит постоянно.

Реже используемые габариты

В литературе описаны различные другие показатели, которые могут быть полезны в определенных ситуациях.