Кіріспе

Математикалық топ

Математикада, Галуа теориясы деп аталатын абстракті алгебра саласында, нақты бір типтегі өріс кеңеюінің Галуа тобы – бұл өріс кеңеюімен байланысты нақты топ. Өріс кеңеюлерін және оларды тудыратын көпмүшелермен олардың байланысын Галуа топтары арқылы зерттеу Галуа теориясы деп аталады, және ол алғаш рет осы теорияны ашқан Эварист Галуаның құрметіне аталған. Галуа топтарын ауыстыру топтары тұрғысынан қарастырудың қарапайым түсіндірілуі үшін Галуа теориясы туралы мақаланы қараңыз.

Анықтама

Егер E өрісі F өрісінің кеңейтілуі болса (E/F деп жазылады және "E F-қа қарағанда" деп оқылады), онда E өрісінің автоморфизмі – F өрісін өзгеріссіз қалдыратын E өрісінің автоморфизмі деп анықталады. Басқаша айтқанда, E өрісінің автоморфизмі – бұл E-ден E-ге изоморфизм φ, мұнда барлық f ∈ F үшін φ(f) = f. Мұндай автоморфизмдер жиыны функциялық композиция операциясымен топ құрайды. Бұл топ кейде Aut(E/F) деп белгіленеді.

Егер E өрісі Галуа кеңейтілуі болса, онда Aut(E/F) Галуа тобы деп аталады және әдетте Gal(E/F) деп белгіленеді.

Егер E өрісі Галуа кеңейтілуі болмаса, онда E өрісінің Галуа тобы кейде Gal(E'/E) ретінде анықталады, мұнда E' – E өрісінің Галуа жабылуы.

Көптаманың Галуа тобы

Галуа тобының тағы бір анықтамасы полиномның Галуа тобы арқылы беріледі. Егер өрiсiнде полиномы сызықтық полиномдардың көбейтіндісі түрінде жіктелетін болса, онда полиномының Галуа тобы – осындай өрістердің ішіндегі минималды өрісінің Галуа тобы ретінде анықталады.

Галуа теориясының негізгі теоремасы

Галуа теориясының маңызды құрылым теоремаларының бірі Галуа теориясының негізгі теоремасынан туындайды. Ол мынаны күйейді: берілген шекті Галуа кеңейтуі үшін, субөрістер жиыны мен субтоптар жиыны арасында бір-бірге сәйкестік бар. Содан кейін, -ны іс-әрекеті астындағы инварианттары жиыны анықтайды, яғни

Сонымен қатар, егер нормальді субтоп болса, онда . Керісінше, егер нормальді өріс кеңейтуі болса, онда -дағы сәйкес келетін субтоп – нормальді топ.

Желілік құрылым

Галуа тобы бар өрістерді Галуа кеңейтулер деп есептейік. Галуа тобы бар өріс, шекті өріс кеңейтуінің кез келген жағдайда изоморфизм болып табылады: Берілген көпмүше үшін, оның түбірлер өрісін қарастырайық. Онда Галуа тобының реті өріс кеңейтуінің дәрежесіне тең, яғни,

Айзенштейн критерийі

Полиномның Галуа тобын анықтауға көмектесетін пайдалы құрал – Эйзенштейн критерийі. Егер полином өзгермейтін полиномдарға жіктелсе, онда әрбір өзгермейтін полиномның Галуа тобын пайдаланып, полиномның Галуа тобын анықтауға болады, себебі полиномның Галуа тобы әрбір өзгермейтін полиномның Галуа тобын қамтиды.

Түпкіленген Абель топтары

Галуа тобы екі элементтен тұрады: сәйкестік автоморфизм және кешендік конъюгация автоморфизмі.

Квадраттық кеңейтулер

Екінші дәрежелі өріс кеңейтуінде Галуа тобы екі элементтен тұрады: сәйкестік автоморфизмі және мен алмастыратын автоморфизм. Бұл мысал жай сан үшін жалпыланады.

Шекті өрістер

Галлоа топтарының шекті абельдік топтармен мысалдарының тағы бір пайдалы класы шекті денелерден шығады. Егер q – жай санның дәрежесі болса, ал және сәйкесінше ретті Галуа денелерін білдірсе, онда n ретімен циклдік болып табылады және Фробеньус гомоморфизмімен жасалады.

4-дәрежелі мысалдар

Өрістің кеңейтілуі – дәрежелі өрістің кеңейтілуінің мысалы. Онда екі автоморфизм бар, мұнда және . Бұл екі генератор төрттік Клейн тобын құрайды, және олар бүкіл Галуа тобын анықтайды.

Глобалды өрістердің өрістерін кеңейтудің Галуа топтарын салыстыру

Берілген жаһандық өріс кеңейтілуі (мысалы, ) және бағалаудың эквиваленттілік кластары (мысалы, -дық бағалау) және олардың толықтырылуы жергілікті өрістердің Галуа өріс кеңейтілуін береді, онда Галуа тобының бағалаудың эквиваленттілік кластары жиынтығында туындаған әрекеті бар, осылайша өрістердің толықтырылуы сәйкес келеді. Яғни, егер , онда жергілікті өрістердің туындаған изоморфизмі бар. Біз гипотеза ретінде алдық, яғни Галуа өріс кеңейтілуі бар, сондықтан өріс морфизмі шын мәнінде алгебралардың изоморфизмі болып табылады. Егер біз бағалау класы үшін изотропиялық кіші тобын алсақ, онда жаһандық Галуа тобынан жергілікті Галуа тобына сюръекция бар, сондай-ақ жергілікті Галуа тобы мен изотропиялық кіші топ арасында изоморфизм бар. Диаграммалық тұрғыдан қарағанда, бұл тік бағытталған жебелер изоморфизмдер болатын жағдайды білдіреді. Бұл жаһандық Галуа топтарын қолданып жергілікті өрістердің Галуа топтарын құруға мүмкіндік беретін әдіс.

Қасиеттері

Галуалық кеңеюдің маңыздылығы – ол Галуа теориясының негізгі теоремасын қанағаттандырады: Галуа тобының (Крулл топологиясына қатысты) жабық кіші топтары, өріс кеңеюінің аралық өрістерімен сәйкес келеді. Егер кеңею Галуалық болса, онда оған Крулл топологиясы деп аталатын топология берілуі мүмкін, ол оны проконектік топқа айналдырады.