Кіріспе
Дифференциалдық геометрияда, беттің берілген нүктесіндегі екі бас қисықтық – бұл сол нүктедегі пішін операторының өзіндік мәндері арқылы көрсетілген қисықтықтың максималды және минималды мәндері. Олар беттің сол нүктеде әртүрлі бағыттарда әртүрлі деңгейде қалай иілгенін көрсетеді.
In differential geometry, the two principal curvatures at a given point of a surface are the maximum and minimum values of the curvature as expressed by the eigenvalues of the shape operator at that point. They measure how the surface bends by different amounts in different directions at that point.
Талқылау
3 өлшемді Евклид кеңістігіндегі дифференциалданатын беттің әрбір нүктесінде p бірлік нормальдық векторды таңдауға болады. P нүктесіндегі нормаль жазықтығы – бұл нормальдық векторды қамтитын жазықтық, ол бетке жанасатын бірегей бағытты да қамтиды және бетті нормаль қима деп аталатын жазықтық қисықпен кесіп алады. Бұл қисықтың әртүрлі нормаль жазықтықтарында әртүрлі қисықтықтары болады. P нүктесіндегі k1 және k2 деп белгіленетін басқы қисықтықтар осы қисықтықтың ең жоғары және ең төменгі мәндері болып табылады. Мұнда қисықтықтың қисықтығы, анықтама бойынша, тиісті шеңбердің радиусының кері шамасы болып табылады. Егер қисық беттің таңдалған нормалі сияқты бағытта бұрылса, онда ол оң, ал әйтпесе теріс деп есептеледі. Нормаль жазықтығындағы қисықтықтың ең жоғары және ең төменгі мәндері әрқашан перпендикуляр болады, егер k1, k2-ге тең болмаса, бұл Ойлердің (1760 ж.) нәтижесі және басқы бағыттар деп аталады. Қазіргі заманғы көзқарас бойынша, бұл теорема спектральдық теоремадан туындайды, өйткені бұл бағыттар симметриялық тензордың басқы осьтері болып табылады – екінші басқы форма. Басқы қисықтықтар мен басқы бағыттарды жүйелі түрде талдауды Гастон Дарбукс Дарбукс жүйелерін қолдана отырып жүргізді. Екі басқы қисықтықтың k1k2 көбейтіндісі Гаусс қисықтығы, K, ал орташасы (k1 + k2) / 2 – орташа қисықтық, H. Егер кемінде бір басқы қисықтық әрбір нүктеде нөлге тең болса, онда Гаусс қисықтығы 0-ге тең болады және бет дамытылатын бет болып табылады. Минималды бет үшін орташа қисықтық әрбір нүктеде нөлге тең.
If at least one of the principal curvatures is zero at every point, then the Gaussian curvature will be 0 and the surface is a developable surface. For a minimal surface, the mean curvature is zero at every point.
Ресми анықтама
M екінші фундаменталды пішіні бар Евклид кеңістігіндегі бет болсын. P ∈ M нүктесін және p нүктесіндегі жанама векторлардың X1, X2 ортонормальды негізін белгілейік. Онда негізгі қисықтықтар – симметриялық матрицаның өзіндік мәндері. Егер X1 және X2 матрицасы диагональ матрица болып таңдалса, онда олар негізгі бағыттар деп аталады. Егер бет бағытталған болса, онда (X1, X2) жұбы берілген бағытқа қатысты оң бағытталған болуы керек. Кез келген ортонормальды негізге сілтеме жасамай, негізгі қисықтықтар пішін операторының өзіндік мәндері, ал негізгі бағыттар – оның өзіндік векторлары болып табылады.
If X1 and X2 are selected so that the matrix is a diagonal matrix, then they are called the principal directions. If the surface is oriented, then one often requires that the pair (X1, X2) be positively oriented with respect to the given orientation. Without reference to a particular orthonormal basis, the principal curvatures are the eigenvalues of the shape operator, and the principal directions are its eigenvectors.
Жалпылау
Жоғары өлшемді Евклид кеңістігіндегі гипербеттер үшін бас қисықтықтар тікелей ұқсас тәсілмен анықталуы мүмкін. Бас қисықтықтар – жанама кеңістіктің ортонормалды базисіндегі екінші түбіртек пішінінің матрицасының өзіндік мәндері. Бас бағыттар – сәйкес өзіндік векторлар. Сол сияқты, егер M – N Римандық көптігіндегі гипербет болса, онда бас қисықтықтар оның екінші түбіртек пішінінің өзіндік мәндері болып табылады. Егер k1, …, kn – p ∈ M нүктесіндегі n бас қисықтықтар болса және X1, …, Xn – сәйкес ортонормалды өзіндік векторлар (бас бағыттар) болса, онда M-нің p нүктесіндегі қималық қисықтығы барлық үшін келесідей беріледі:
.
Иілгендік сызығы
Иіс сызықтары немесе қисықтық сызықтары – әрқашан бас бағытқа жанасатын қисықтар (олар бас бағыт өрістері үшін интегралды қисықтар). Түйінсіз нүктелердің әрқайсысы арқылы екі иіс сызығы өтеді және сызықтар тік бұрышпен қиылысады. Көбінесе түйіннің жанында иіс сызықтары жұлдыз, лимон және монстр (лимон жұлдызынан туындаған) үш конфигурацияның бірін құрайды. Бұл нүктелер сондай-ақ Дарбукстік түйіндер деп аталады (D1, D2, D3), Гастон Дарбукстің құрметіне, ол алғаш рет жүйелі зерттеу жүргізді, оның «Сабақтары» (1896) 4-том, 455-бетте. Бұл суреттерде қызыл қисықтар – бас бағыттардың бір отбасы үшін иіс сызықтары, ал көк қисықтар – екінші отбасы үшін. Егер иіс сызығының жергілікті шегі бірдей бас қисықтыққа ие болса, онда қисықта қырлы нүкте болады. Бұл қырлы нүктелер беттегі қырлар деп аталатын қисықтарды құрайды. Қырлы сызықтар түйін арқылы өтеді. Жұлдыз үлгісі үшін 3 немесе 1 қырлы сызық түйін арқылы өтеді, ал монстр мен лимон үшін тек бір қырлы сызық өтеді.
Gaston Darboux, the first to make a systematic study in Vol. 4, p 455, of his Leçons (1896). In these figures, the red curves are the lines of curvature for one family of principal directions, and the blue curves for the other. When a line of curvature has a local extremum of the same principal curvature then the curve has a ridge point. These ridge points form curves on the surface called ridges. The ridge curves pass through the umbilics. For the star pattern either 3 or 1 ridge line pass through the umbilic, for the monstar and lemon only one ridge passes through.
Қолданбалар
Негізгі қисықтық бағыттары, беттік нормамен бірге, беттік нүктеде 3D бағдарлау жүйесін анықтайды. Мысалы, цилиндр бетінің жағдайында, физикалық түрде тию арқылы немесе көзбен байқау арқылы біз беттің бір белгілі бағытта тегіс екенін (цилиндр осіне параллель) білеміз, демек беттің бағдарына назар аударамыз. Әрбір беттік нүктедегі мұндай бағдарлау жүйесінің болуы, беттердің уақыт өте кез келген бұрылуын, сәйкес бағдарлау жүйесіндегі өзгерістерді қарастыру арқылы анықтауға мүмкіндік береді. Бұл компьютерлік көруде бір беттік нүктелік қозғалысты бағалау және сегментациялау алгоритмдерінің пайда болуына әкелді.