Введение

Максимальная и минимальная кривизна в точке поверхности

В дифференциальной геометрии две главные кривизны в данной точке поверхности являются максимальным и минимальным значениями кривизны, выраженными собственными значениями оператора формы в этой точке. Они показывают, насколько поверхность изгибается в разных направлениях в этой точке.

Обсуждение

В каждой точке p дифференцируемой поверхности в трёхмерном евклидовом пространстве можно выбрать единичный нормальный вектор. Нормальная плоскость в точке p – это плоскость, содержащая нормальный вектор, и, следовательно, также содержащая единственное касательное к поверхности направление, пересекающая поверхность в плоской кривой, называемой нормальным сечением. Эта кривая, как правило, имеет различные кривизны для разных нормальных плоскостей в точке p. Основные кривизны в точке p, обозначаемые k1 и k2, являются максимальным и минимальным значениями этой кривизны. Здесь кривизна кривой по определению является величиной, обратной радиусу оскулирующей окружности. Кривизна считается положительной, если кривая изгибается в том же направлении, что и выбранная нормаль к поверхности, и отрицательной – в противном случае. Направления в нормальной плоскости, в которых кривизна принимает свои максимальные и минимальные значения, всегда перпендикулярны, если k1 не равно k2 – результат, полученный Эйлером в 1760 году, и называются главными направлениями. С современной точки зрения, эта теорема вытекает из спектральной теоремы, поскольку эти направления являются главными осями симметричного тензора – второй фундаментальной формы. Систематический анализ основных кривизн и главных направлений был проведён Гастоном Дарбу с использованием френетовских триэдров Дарбу. Произведение k1k2 двух основных кривизн является кривизной Гаусса, K, а среднее значение (k1 + k2) / 2 – средней кривизной, H. Если хотя бы одна из основных кривизн равна нулю в каждой точке, то кривизна Гаусса будет равна 0, и поверхность является развиваемой поверхностью. Для минимальной поверхности средняя кривизна равна нулю в каждой точке.

Формальное определение

Пусть M — поверхность в евклидовом пространстве со второй фундаментальной формой. Зафиксируем точку p ∈ M и ортонормальный базис X1, X2 касательных векторов в p. Тогда главные кривизны — это собственные значения симметричной матрицы. Если X1 и X2 выбраны так, что матрица является диагональной матрицей, то они называются главными направлениями. Если поверхность ориентирована, то часто требуется, чтобы пара (X1, X2) была положительно ориентирована относительно заданной ориентации. Без привязки к конкретному ортонормальному базису, главные кривизны — это собственные значения оператора формы, а главные направления — его собственные векторы.

Обобщения

Для гиперповерхностей в более высокомерных евклидовых пространствах главные кривизны могут быть определены совершенно аналогичным образом. Главные кривизны являются собственными значениями матрицы второй фундаментальной формы в ортонормальном базисе касательного пространства. Главные направления – соответствующие собственные векторы. Аналогично, если M – гиперповерхность в римановом многообразии N, то главные кривизны являются собственными значениями ее второй фундаментальной формы. Если k1, …, kn – n главных кривизн в точке p ∈ M и X1, …, Xn – соответствующие ортонормальные собственные векторы (главные направления), то сечная кривизна M в точке p задается формулой

для всех с .

Линия кривизны

Линии кривизны или кривизные линии – это кривые, которые всегда касательны к главному направлению (они являются интегральными кривыми для полей главных направлений). Через каждую точку, не являющуюся точкой пуповины, проходят две линии кривизны, пересекающиеся под прямым углом. В окрестности точки пуповины линии кривизны обычно образуют одну из трех конфигураций: звезду, лимон и монстра (производную от лимонной звезды). Эти точки также называются пуповинами Дарбу (D1, D2, D3) в честь Гастона Дарбу, впервые систематически изучившего их в томе 4, на странице 455 его "Уроков" (1896). На этих изображениях красные кривые представляют собой линии кривизны для одного семейства главных направлений, а синие – для другого. Если линия кривизны имеет локальный экстремум главной кривизны, то эта кривая имеет гребневую точку. Эти гребневые точки образуют на поверхности кривые, называемые гребнями. Кривые гребней проходят через точки пуповины. Для звездного рисунка через точку пуповины проходит либо 3, либо 1 гребневая линия, для монстра и лимона – только одна.

Приложения

Основные направления кривизны вместе с нормалью к поверхности определяют трехмерную систему координат в точке поверхности. Например, для цилиндрической поверхности, при физическом касании или визуальном наблюдении, мы понимаем, что вдоль одного конкретного направления поверхность плоская (параллельна оси цилиндра), и поэтому учитываем ориентацию поверхности. Наличие такой системы координат в каждой точке поверхности означает, что любое вращение поверхности во времени можно определить, просто рассматривая изменение соответствующих систем координат. Это привело к разработке алгоритмов оценки движения отдельных точек поверхности и сегментации в компьютерном зрении.