Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Тікбұрышты үшбұрыш, есептеулерді жеңілдететін ерекшелігі бар
Right triangle with a feature making calculations on the triangle easier
Арнайы тікбұрышты үшбұрыш – үшбұрышта есептеулерді жеңілдететін немесе қарапайым формулалары бар белгілі бір реттелген ерекшелігі бар тікбұрышты үшбұрыш. Мысалы, тікбұрышты үшбұрыштың бұрыштары 45°–45°–90° сияқты қарапайым қатынастар құрауы мүмкін. Бұл "бұрышқа негізделген" тікбұрышты үшбұрыш деп аталады. "Қабырғаға негізделген" тікбұрышты үшбұрыш – қабырғаларының ұзындықтары 3 : 4 : 5 сияқты бүтін сандардың немесе алтын қатынас сияқты басқа арнайы сандардың қатынастарын құрайтын үшбұрыш. Осы арнайы тікбұрышты үшбұрыштардың бұрыштарының немесе қабырғаларының қатынастарын білу геометриялық есептерде әртүрлі ұзындықтарды одан да күрделі әдістерді қолданбай жылдам есептеуге мүмкіндік береді.
A special right triangle is a right triangle with some regular feature that makes calculations on the triangle easier, or for which simple formulas exist. For example, a right triangle may have angles that form simple relationships, such as 45°–45°–90°. This is called an "angle based" right triangle. A "side based" right triangle is one in which the lengths of the sides form ratios of whole numbers, such as 3 : 4 : 5, or of other special numbers such as the golden ratio. Knowing the relationships of the angles or ratios of sides of these special right triangles allows one to quickly calculate various lengths in geometric problems without resorting to more advanced methods.
45° - 45° - 90° үшбұрышы
Жазық геометрияда шаршының диагоналін салу нәтижесінде үш бұрышы 1:1:2 қатынасында болатын үшбұрыш пайда болады, олардың қосындысы 180° немесе π радианға тең. Сондықтан, бұрыштар сәйкесінше 45°, 45° және 90° шамасында болады. Осы үшбұрыштың қабырғалары 1:1:√2 қатынасында, бұл Пифагор теоремасынан тікелей шығады. Барлық тікбұрышты үшбұрыштардың ішінде 45°–45°–90° үшбұрысы гипотенузаның катеттерінің қосындысына ең кіші қатынасына ие, атап айтқанда √2, ал гипотенузадан катеттерінің қосындысына дейінгі биіктіктің ең үлкен қатынасы (Бұл Нивен теоремасынан туындайды). Олар ең тиімді, себебі оларды есте сақтау оңай, және қабырғаларының кез келген еселігі бірдей қатынасты сақтайды. Пифагор үштіктерін жасау үшін Евклид формуласын қолдану арқылы, қабырғалар мына қатынаста болуы керек:
In plane geometry, constructing the diagonal of a square results in a triangle whose three angles are in the ratio 1 : 1 : 2, adding up to 180° or radians. Hence, the angles respectively measure 45° , 45° , and 90° The sides in this triangle are in the ratio 1 : 1 : , which follows immediately from the Pythagorean theorem. Of all right triangles, the 45° 45° 90° degree triangle has the smallest ratio of the hypotenuse to the sum of the legs, namely and the greatest ratio of the altitude from the hypotenuse to the sum of the legs, namely (This follows from Niven's theorem.) They are most useful in that they may be easily remembered and any multiple of the sides produces the same relationship. Using Euclid's formula for generating Pythagorean triples, the sides must be in the ratio
мұнда m және n – m > n шартын қанағаттандыратын кез келген оң бүтін сандар.
where m and n are any positive integers such that m > n.
Арифметикалық және геометриялық прогрессиялар
Кеплер үшбұрышы – қабырғалары геометриялық прогрессияда болатын тікбұрышты үшбұрыш. Егер қабырғалары геометриялық прогрессиядан a, ar, ar² құралса, онда оның ортақ қатынасы r = φ² - φ - 1, мұндағы φ – алтын қатынас. Оның қабырғаларының арақатынасы осыған сәйкес болады. Демек, Кеплер үшбұрышының пішіні қабырғаларының геометриялық прогрессияда болу шартымен (масштабтық коэффициентке дейін) бірегей түрде анықталады. 3–4–5 үшбұрышы – қабырғалары арифметикалық прогрессияда болатын жалғыз тікбұрышты үшбұрыш (масштабтауға дейін).
The Kepler triangle is a right triangle whose sides are in geometric progression. If the sides are formed from the geometric progression a, ar, ar2 then its common ratio r is given by r = where φ is the golden ratio. Its sides are therefore in the ratio Thus, the shape of the Kepler triangle is uniquely determined (up to a scale factor) by the requirement that its sides be in geometric progression. The 3–4–5 triangle is the unique right triangle (up to scaling) whose sides are in arithmetic progression.
Тура көпбұрыштардың қабырғалары
Бірлік шеңберге ішкі жазылған тұрақты онбұрыштың қабырға ұзындығы болсын, мұнда φ – алтын қатынас. Бірлік шеңбердегі тұрақты алтыбұрыштың және бірлік шеңбердегі тұрақты бесбұрыштың қабырға ұзындығы болсын. Осы үш ұзындық тікбұрышты үшбұрыштың қабырғаларын құрайды. Осы үшбұрыштың жартысы алтын тіктөртбұрыш құрайды. Бұл үшбұрық φ қабырғасы бар тұрақты икосаэдрдің ішінде де кездеседі: кез келген төбеден оның бес көршісі жатқан жазықтыққа дейінгі ең қысқа сызық кесіндісінің ұзындығы φ-қа тең, ал осы сызық кесіндісінің соңғы нүктелері мен оның кез келген көршісі тікбұрышты үшбұрыштың төбелерін құрайды, оның қабырғалары φ, 1 және 2-ге тең.
Let be the side length of a regular decagon inscribed in the unit circle, where is the golden ratio. Let be the side length of a regular hexagon in the unit circle, and let be the side length of a regular pentagon in the unit circle. Then , so these three lengths form the sides of a right triangle. The same triangle forms half of a golden rectangle. It may also be found within a regular icosahedron of side length : the shortest line segment from any vertex to the plane of its five neighbors has length , and the endpoints of this line segment together with any of the neighbors of form the vertices of a right triangle with sides , , and .