Введение
Специальный прямоугольный треугольник — это прямоугольный треугольник, обладающий определенной особенностью, которая упрощает вычисления с ним или для которого существуют простые формулы. Например, углы прямоугольного треугольника могут быть связаны простыми соотношениями, такими как 45°–45°–90°. Такой треугольник называется "угловым". "Треугольник с пропорциональными сторонами" — это треугольник, в котором длины сторон соотносятся как целые числа, например, 3:4:5, или как другие специальные числа, такие как золотое сечение. Знание соотношений углов или пропорций сторон этих специальных прямоугольных треугольников позволяет быстро вычислять различные длины в геометрических задачах, не прибегая к более сложным методам.
A special right triangle is a right triangle with some regular feature that makes calculations on the triangle easier, or for which simple formulas exist. For example, a right triangle may have angles that form simple relationships, such as 45°–45°–90°. This is called an "angle based" right triangle. A "side based" right triangle is one in which the lengths of the sides form ratios of whole numbers, such as 3 : 4 : 5, or of other special numbers such as the golden ratio. Knowing the relationships of the angles or ratios of sides of these special right triangles allows one to quickly calculate various lengths in geometric problems without resorting to more advanced methods.
Треугольник 45° - 45° - 90°
В плоской геометрии построение диагонали квадрата приводит к треугольнику, три угла которого относятся как 1 : 1 : 2, в сумме давая 180° или π радиан. Следовательно, углы соответственно равны 45°, 45° и 90°. Отношение сторон в этом треугольнике равно 1 : 1 : √2, что непосредственно следует из теоремы Пифагора. Среди всех прямоугольных треугольников треугольник с углами 45°–45°–90° имеет наименьшее отношение гипотенузы к сумме катетов, равное 1/ (1 + √2), и наибольшее отношение высоты, опущенной на гипотенузу, к сумме катетов, равное √2 / 2. (Это следует из теоремы Нивена.) Они особенно удобны тем, что их легко запомнить, и любое кратное сторонам сохраняет те же соотношения. Используя формулу Евклида для генерации пифагоровых троек, стороны должны относиться как
где m и n – любые положительные целые числа, причём m > n.
Арифметические и геометрические прогрессии
Треугольник Кеплера — прямоугольный треугольник, стороны которого образуют геометрическую прогрессию. Если стороны представлены геометрической прогрессией a, ar, ar², то её знаменатель r равен r = √φ, где φ — золотое сечение. Следовательно, соотношение сторон треугольника Кеплера равно 1 : √φ : φ. Таким образом, форма треугольника Кеплера однозначно определяется (с точностью до масштаба) требованием, чтобы его стороны находились в геометрической прогрессии. Треугольник со сторонами 3–4–5 — единственный прямоугольный треугольник (с точностью до масштабирования), стороны которого находятся в арифметической прогрессии.
Стороны правильных многоугольников
Пусть длина стороны правильного десятиугольника, вписанного в единичную окружность, где φ — золотое сечение. Пусть длина стороны правильного шестиугольника, вписанного в единичную окружность, и пусть длина стороны правильного пятиугольника, вписанного в единичную окружность. Тогда φ² = 1 + φ, поэтому эти три длины образуют стороны прямоугольного треугольника. Тот же треугольник составляет половину золотого прямоугольника. Его также можно найти внутри правильного икосаэдра с длиной стороны 1: кратчайший отрезок от любой вершины к плоскости, образованной ее пятью соседями, имеет длину φ, а концы этого отрезка вместе с любым из соседей данной вершины образуют вершины прямоугольного треугольника со сторонами 1, φ и φ².