Сақина теориясы: Жаһандық өлшем (gl dim A) – сақинаның гомологиялық инварианты. Нотериан сақиналарында маңызды, Серре теоремасы бойынша реттеуші сақиналарды сипаттайды.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Кіріспе
Сақина теориясы мен гомологиялық алгебрада A сақинасының жаһандық өлшем (немесе жаһандық гомологиялық өлшем; кейде жай ғана гомологиялық өлшем деп аталады), gl dim A деп белгіленеді, – теріс емес бүтін сан немесе шексіздік, және ол сақинаның гомологиялық инварианты болып табылады. Ол барлық A модульдерінің проективтік өлшемдер жиынының жоғарғы шегі ретінде анықталады. Жаһандық өлшем – Нотер сақиналарының өлшем теориясындағы маңызды техникалық түсінік. Жан-Пьер Серрдің теоремасы бойынша, жаһандық өлшем коммутативті Нотерлік жергілікті сақиналар класындағы тұрақты сақиналарды сипаттау үшін қолданылуы мүмкін. Олардың жаһандық өлшемі Крулл өлшемімен сәйкес келеді, ол модульдік теория бойынша анықталады. Егер A сақинасы коммутативті емес болса, онда алдымен осы түсініктің екі нұсқасын қарастыру қажет: оң A модульдерін қарастырудан туындайтын оң жақтанғы жаһандық өлшем және сол A модульдерін қарастырудан туындайтын сол жақтанғы жаһандық өлшем. Кез келген A сақинасы үшін оң және сол жақтанғы жаһандық өлшемдер әртүрлі болуы мүмкін. Алайда, егер A Нотер сақинасы болса, осы екі өлшемнің екеуі де солдан оңға симметриялы әлсіз жаһандық өлшемге тең болады. Сондықтан, коммутативті емес Нотер сақиналары үшін осы екі нұсқа сәйкес келеді және жаһандық өлшем туралы айтуға болады.
In ring theory and homological algebra, the global dimension (or global homological dimension; sometimes just called homological dimension) of a ring A denoted gl dim A, is a non negative integer or infinity which is a homological invariant of the ring. It is defined to be the supremum of the set of projective dimensions of all A modules. Global dimension is an important technical notion in the dimension theory of Noetherian rings. By a theorem of Jean Pierre Serre, global dimension can be used to characterize within the class of commutative Noetherian local rings those rings which are regular. Their global dimension coincides with the Krull dimension, whose definition is module theoretic. When the ring A is noncommutative, one initially has to consider two versions of this notion, right global dimension that arises from consideration of the right A modules, and left global dimension that arises from consideration of the left A modules. For an arbitrary ring A the right and left global dimensions may differ. However, if A is a Noetherian ring, both of these dimensions turn out to be equal to weak global dimension, whose definition is left right symmetric. Therefore, for noncommutative Noetherian rings, these two versions coincide and one is justified in talking about the global dimension.
Мысалдар
A = K[x1, …, xn] – K өрісіндегі n айнымалысы бар көпмүшелер сақинасы болсын. Онда A-ның жаһандық өлшемі n-ге тең. Бұл тұжырым Дэвид Гильберттің көпмүшелік сақиналардың гомологиялық қасиеттері туралы негізгі еңбегіне қатысты; Гильберттің сизигия теоремасын қараңыз. Көбірек жалпылап айтқанда, егер R – шекті жаһандық өлшемді k ноэтериандық сақина болса және A = R[x] – R өрісіндегі бір айнымалысы бар көпмүшелер сақинасы болса, онда A-ның жаһандық өлшемі k + 1-ге тең. Сақина жартылай жай болса және тек сонда ғана оның жаһандық өлшемі нөлге тең болады. А сақинасының жаһандық өлшемі бірге тең немесе одан кем болса, тек қана А тұқым қуалайтын болса ғана. Атап айтқанда, өріс емес коммутативті негізгі идеалдық доменнің жаһандық өлшемі бірге тең. Мысалы, жаһандық өлшемі бірге тең. Бірінші Вейль алгебрасы A1 – жаһандық өлшемі бірге тең коммутативті емес ноэтериандық домен. Егер сақина оң ноэтериандық болса, онда оң жақтанғы жаһандық өлшем әлсіз жаһандық өлшеммен бірдей және сол жақтанғы жаһандық өлшемнен кем немесе тең болады. Атап айтқанда, егер сақина оң және сол ноэтериандық болса, онда сол және оң жақтанғы жаһандық өлшемдер мен әлсіз жаһандық өлшемдердің барлығы да бірдей болады. Үшбұрышты матрица сақинасының оң жақтанғы жаһандық өлшемі 1, әлсіз жаһандық өлшемі 1, бірақ сол жақтанғы жаһандық өлшемі 2-ге тең. Бұл оң ноэтериандық, бірақ сол ноэтериандық емес.
Let A = K[x1, ,xn] be the ring of polynomials in n variables over a field K. Then the global dimension of A is equal to n. This statement goes back to David Hilbert's foundational work on homological properties of polynomial rings; see Hilbert's syzygy theorem. More generally, if R is a Noetherian ring of finite global dimension k and A = R[x] is a ring of polynomials in one variable over R then the global dimension of A is equal to k + 1. A ring has global dimension zero if and only if it is semisimple. The global dimension of a ring A is less than or equal to one if and only if A is hereditary. In particular, a commutative principal ideal domain which is not a field has global dimension one. For example has global dimension one. The first Weyl algebra A1 is a noncommutative Noetherian domain of global dimension one. If a ring is right Noetherian, then the right global dimension is the same as the weak global dimension, and is at most the left global dimension. In particular if a ring is right and left Noetherian then the left and right global dimensions and the weak global dimension are all the same. The triangular matrix ring has right global dimension 1, weak global dimension 1, but left global dimension 2. It is right Noetherian but not left Noetherian.