Введение

В теории колец и гомологической алгебре глобальное измерение (или глобальное гомологическое измерение; иногда просто гомологическое измерение) кольца A, обозначаемое gl dim A, является неотрицательным целым числом или бесконечностью, являющимся гомологическим инвариантом кольца. Оно определяется как супремум множества проективных размерностей всех A-модулей. Глобальное измерение – важное техническое понятие в теории размерности ноэтерианских колец. По теореме Жана Пьера Серра, глобальное измерение можно использовать для характеризации в классе коммутативных ноэтерианских локальных колец тех колец, которые являются регулярными. Их глобальное измерение совпадает с размерностью Крулла, определение которой исходит из теории модулей. Когда кольцо A некоммутативно, изначально необходимо рассматривать две версии этого понятия: правое глобальное измерение, возникающее при рассмотрении правых A-модулей, и левое глобальное измерение, возникающее при рассмотрении левых A-модулей. Для произвольного кольца A правое и левое глобальные измерения могут различаться. Однако, если A является ноэтерианским кольцом, оба этих измерения оказываются равными слабому глобальному измерению, определение которого симметрично относительно левых и правых модулей. Следовательно, для некоммутативных ноэтерианских колец эти две версии совпадают, и допустимо говорить о глобальном измерении.

Примеры

Пусть A = K[x1, …, xn] – кольцо многочленов от n переменных над полем K. Тогда глобальное измерение A равно n. Это утверждение восходит к основополагающим работам Давида Гильберта по гомологическим свойствам многочленовых колец; см. теорему Гильберта о сизигиях. В более общем случае, если R – кольцо Ноэтера с конечным глобальным измерением k и A = R[x] – кольцо многочленов от одной переменной над R, то глобальное измерение A равно k + 1. Кольцо имеет глобальное измерение ноль тогда и только тогда, когда оно полупростое. Глобальное измерение кольца A меньше или равно единице тогда и только тогда, когда A является наследственным. В частности, коммутативный главный идеальный домен, который не является полем, имеет глобальное измерение 1. Например, имеет глобальное измерение 1. Первая алгебра Вейля A1 является некоммутативным ноэтерианским доменом глобального измерения 1. Если кольцо правое ноэтерианское, то правое глобальное измерение совпадает со слабым глобальным измерением и не превосходит левого глобального измерения. В частности, если кольцо является право- и левоноэтерианским, то левое и правое глобальные измерения и слабое глобальное измерение все равны. У кольца треугольных матриц правое глобальное измерение равно 1, слабое глобальное измерение равно 1, но левое глобальное измерение равно 2. Оно является правоноэтерианским, но не левоноэтерианским.