Кіріспе
Риманның зета функциясының ерекше мәндері Математикада Риманның зета функциясы – сандар теориясында маңызды роль атқаратын комплекс сандарды зерттеу саласындағы функция. Ол көбінесе математик Бернхард Риманның құрметіне осылай аталады. Егер аргумент бірден үлкен нақты сан болса, онда зета функциясы келесі теңдеуді қанағаттандырады:
In mathematics, the Riemann zeta function is a function in complex analysis, which is also important in number theory. It is often denoted and is named after the mathematician Bernhard Riemann. When the argument is a real number greater than one, the zeta function satisfies the equation
It can therefore provide the sum of various convergent infinite series, such as Explicit or numerically efficient formulae exist for at integer arguments, all of which have real values, including this example. This article lists these formulae, together with tables of values. It also includes derivatives and some series composed of the zeta function at integer arguments. The same equation in above also holds when is a complex number whose real part is greater than one, ensuring that the infinite sum still converges. The zeta function can then be extended to the whole of the complex plane by analytic continuation, except for a simple pole at The complex derivative exists in this more general region, making the zeta function a meromorphic function. The above equation no longer applies for these extended values of , for which the corresponding summation would diverge. For example, the full zeta function exists at (and is therefore finite there), but the corresponding series would be whose partial sums would grow indefinitely large. The zeta function values listed below include function values at the negative even numbers (, ), for which and which make up the so called trivial zeros. The Riemann zeta function article includes a colour plot illustrating how the function varies over a continuous rectangular region of the complex plane. The successful characterisation of its non trivial zeros in the wider plane is important in number theory, because of the Riemann hypothesis.
Осылайша, ол әртүрлі жинақты шексіз қатарлардың қосындысын табуға мүмкіндік береді, мысалы, . Бүтін аргументтер үшін нақты немесе сандық жағынан тиімді формулалар бар, олардың барлығы нақты мәндерге ие, оның ішінде осы мысал да сондай. Бұл мақалада осы формулалар мен оларға сәйкес келетін мәндердің кестесі келтірілген. Сонымен қатар, бүтін аргументтердегі зета функциясынан құралған туындылар мен бірнеше қатарлар да қарастырылады. Жоғарыдағы теңдеу, егер аргументтің нақты бөлігі бірден үлкен болса, комплекс сан үшін де орындалады, бұл шексіз қосындының жинақтылығын қамтамасыз етеді. Зета функциясы аналитикалық жалғастыру арқылы комплекс жазықтықтың барлық аймағына кеңейтілуі мүмкін, бірақ ол тек қарапайым полюске ие. Осы кеңейтілген аймақта комплекс туындысы бар, бұл зета функциясын мероморфтық функция етеді. Аталған теңдеу осы кеңейтілген мәндер үшін қолданылмайды, себебі тиісті қосынды жинақталмайды. Мысалы, толық зета функциясы (яғни, шекті мәні бар) болатын жерде, сәйкес келетін қатарлардың ішінара қосындылары шексіз өсе береді. Төменде келтірілген зета функциясының мәндері теріс жұп сандардағы функцияның мәндерін қамтиды (,), олар үшін және олар тривиальды нөлдер деп аталады. Риманның зета функциясы туралы мақаласында функцияның комплекс жазықтықтың үздіксіз тіктөртбұрышты аймағындағы өзгеруін көрсететін түсті сызба келтірілген. Оның кең жазықтықтағы тривиальды емес нөлдерін сәтті сипаттау, Риман гипотезасының арқасында сандар теориясында маңызды болып табылады.
In mathematics, the Riemann zeta function is a function in complex analysis, which is also important in number theory. It is often denoted and is named after the mathematician Bernhard Riemann. When the argument is a real number greater than one, the zeta function satisfies the equation
It can therefore provide the sum of various convergent infinite series, such as Explicit or numerically efficient formulae exist for at integer arguments, all of which have real values, including this example. This article lists these formulae, together with tables of values. It also includes derivatives and some series composed of the zeta function at integer arguments. The same equation in above also holds when is a complex number whose real part is greater than one, ensuring that the infinite sum still converges. The zeta function can then be extended to the whole of the complex plane by analytic continuation, except for a simple pole at The complex derivative exists in this more general region, making the zeta function a meromorphic function. The above equation no longer applies for these extended values of , for which the corresponding summation would diverge. For example, the full zeta function exists at (and is therefore finite there), but the corresponding series would be whose partial sums would grow indefinitely large. The zeta function values listed below include function values at the negative even numbers (, ), for which and which make up the so called trivial zeros. The Riemann zeta function article includes a colour plot illustrating how the function varies over a continuous rectangular region of the complex plane. The successful characterisation of its non trivial zeros in the wider plane is important in number theory, because of the Riemann hypothesis.
ζ(7)
Қорытынды Ламберт қатары түрінде екенін ескеріңіз.
Басты нөлдер
Риманның зетта-функциясының нөлдері, теріс жұп сандардан басқалары "тривиалды емес нөлдер" деп аталады. Риман гипотезасы бойынша, әрбір тривиалды емес нөлдің нақты бөлігі тең болуы керек. Басқаша айтқанда, Риман зетта-функциясының барлық белгілі тривиалды емес нөлдері түрінде болады, мұнда y – нақты сан. Төмендегі кестеде алғашқы бірнеше тривиалды емес нөлдердің Im(z) шамаларының ондық кеңейтілуі көрсетілген:
+ Таңдалған тривиалды емес нөлдер Im(z) шамасының ондық кеңейтілуі 14.134725141734693790 21.022039638771554992 25.010857580145688763 30.424876125859513210 32.935061587739189690 37.586178158825671257 40.918719012147495187 43.327073280914999519 48.005150881167159727 49.773832477672302181
Эндрю Одлицко бірінші 2 миллион тривиалды емес нөлді 4-тен кіші қателікпен, ал бірінші 100 нөлді 1000 ондық таңбаға дейін дәл есептеген. Кестелер мен библиографиялар үшін олардың веб-сайтына жүгініңіз. Шамамен 103 миллиард нөлдің жоғары дәлдігімен (±2·102 ≈ ±2·1031) кестесі LMFDB арқылы интерактивті қолжеткізуге және жүктеуге қолбар (әйтсе де, өте қолайсыз қысылған форматта).