Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Особые значения дзета-функции Римана
Particular values of the Riemann zeta function
В математике дзета-функция Римана — это функция в комплексном анализе, которая также важна в теории чисел. Она обычно обозначается ζ(s) и названа в честь математика Бернарда Римана. Когда аргумент s является действительным числом, большим единицы, дзета-функция удовлетворяет уравнению
In mathematics, the Riemann zeta function is a function in complex analysis, which is also important in number theory. It is often denoted and is named after the mathematician Bernhard Riemann. When the argument is a real number greater than one, the zeta function satisfies the equation
Поэтому она может представлять собой сумму различных сходящихся бесконечных рядов, таких как. Существуют явные или численно эффективные формулы для ζ(s) при целочисленных аргументах, все из которых имеют действительные значения, включая этот пример. В данной статье перечислены эти формулы вместе с таблицами значений. Также приводятся производные и некоторые ряды, составленные из дзета-функции при целочисленных аргументах. То же уравнение, указанное выше, также справедливо, когда s — комплексное число, чья действительная часть больше единицы, что обеспечивает сходимость бесконечной суммы. Затем дзета-функцию можно расширить на всю комплексную плоскость посредством аналитического продолжения, за исключением простого полюса в точке s = 1. Комплексная производная существует в этой более общей области, что делает дзета-функцию мероморфной функцией. Вышеуказанное уравнение больше не применимо к этим расширенным значениям s, для которых соответствующее суммирование расходится. Например, полная дзета-функция существует в точке s = 0 (и, следовательно, конечна там), но соответствующий ряд будет 1 - 1 + 1 - 1 +…, чьи частичные суммы будут неограниченно возрастать. Значения дзета-функции, перечисленные ниже, включают значения функции при отрицательных четных числах (s = -2, -4,…), для которых ζ(s) = 0 и которые составляют так называемые тривиальные нули. Статья о дзета-функции Римана содержит цветной график, иллюстрирующий изменение функции в непрерывной прямоугольной области комплексной плоскости. Успешная характеристика её нетривиальных нулей в более широкой плоскости важна в теории чисел из-за гипотезы Римана.
It can therefore provide the sum of various convergent infinite series, such as Explicit or numerically efficient formulae exist for at integer arguments, all of which have real values, including this example. This article lists these formulae, together with tables of values. It also includes derivatives and some series composed of the zeta function at integer arguments. The same equation in above also holds when is a complex number whose real part is greater than one, ensuring that the infinite sum still converges. The zeta function can then be extended to the whole of the complex plane by analytic continuation, except for a simple pole at The complex derivative exists in this more general region, making the zeta function a meromorphic function. The above equation no longer applies for these extended values of , for which the corresponding summation would diverge. For example, the full zeta function exists at (and is therefore finite there), but the corresponding series would be whose partial sums would grow indefinitely large. The zeta function values listed below include function values at the negative even numbers (, ), for which and which make up the so called trivial zeros. The Riemann zeta function article includes a colour plot illustrating how the function varies over a continuous rectangular region of the complex plane. The successful characterisation of its non trivial zeros in the wider plane is important in number theory, because of the Riemann hypothesis.
ζ(7)
Обратите внимание, что сумма имеет вид ряда Ламберта.
Note that the sum is in the form of a Lambert series.
Нетривиальные нули
Нули дзета-функции Римана, за исключением отрицательных четных целых чисел, называются "нетривиальными нулями". Гипотеза Римана утверждает, что действительная часть каждого нетривиального нуля должна быть равна 1/2. Иными словами, все известные нетривиальные нули дзета-функции Римана имеют вид 1/2 + iy, где y – действительное число. В следующей таблице приведено десятичное разложение Im(z) для первых нескольких нетривиальных нулей:
Zeros of the Riemann zeta except negative even integers are called "nontrivial zeros". The Riemann hypothesis states that the real part of every nontrivial zero must be In other words, all known nontrivial zeros of the Riemann zeta are of the form where y is a real number. The following table contains the decimal expansion of Im(z) for the first few nontrivial zeros:
Эндрю Одлицко вычислил первые 2 миллиона нетривиальных нулей с точностью до 4 знаков после запятой, и первые 100 нулей с точностью до 1000 знаков после запятой. См. таблицы и библиографии на его веб-сайте. Таблица примерно из 103 миллиардов нулей с высокой точностью (±2·102 ≈ ±2·1031) доступна для интерактивного доступа и загрузки (хотя и в очень неудобном сжатом формате) через LMFDB.
Andrew Odlyzko computed the first 2 million nontrivial zeros accurate to within 4, and the first 100 zeros accurate within 1000 decimal places. See their website for the tables and bibliographies. A table of about 103 billion zeros with high precision (of ±2 102≈±2·10 31) is available for interactive access and download (although in a very inconvenient compressed format) via LMFDB.