Кіріспе
Комплекстік талдауда Стокстің құбылысы, оны ашты, – бұл күрделі жазықтықтың әртүрлі аймақтарында функциялардың асимптотикалық мінез-құлқының өзгеше болуы. Бұл, аналитикалық функцияның асимптотикалық кеңеюін қарастырғанда, көрінетін парадокс тудырады. Аналитикалық функция үздіксіз болғандықтан, асимптотикалық кеңеюдің де үздіксіз болуын күтесіз. Осы парадокс Стоукстің алғашқы зерттеулерінің тақырыбы болып табылады және Стокстің құбылысы деп аталады. Күрделі жазықтықтағы әртүрлі асимптотикалық мінез-құлыққа ие аймақтар, мүмкін, Стокс қисықтары және Анти-Стокс қисықтары деп аталатын қисықтардың бір немесе екі түрімен шектеледі. Бұл көрінетін парадокс кейін шешілді және асимптотикалық кеңеюдегі жалған үзіліс тегіс және үздіксіз екені көрсетілді. Осы парадоксты шешу үшін асимптотикалық кеңеюді сақтықпен қарау қажет. Атап айтқанда, асимптотикалық кеңеюге әдеттегі асимптотикалық кеңеюге кіретін әдеттегі алгебралық терминдерге қатысты қосымша экспоненциалды түрде кішігірім терминдер енгізілуі керек. Стокстің құбылысында, бір аймақтағы асимптотикалық кеңеюде экспоненциалды түрде кішігірім үлес болуы мүмкін (осы үлесті ескермесе де, сол аймақ үшін дұрыс асимптотикалық кеңею алынады). Дегенмен, бұл экспоненциалды түрде кішігірім термин күрделі жазықтықтың басқа аймағында экспоненциалды түрде үлкен болуы мүмкін, бұл өзгеріс Анти-Стокс қисықтары арқылы жүзеге асады. Сонымен қатар, экспоненциалды түрде кішігірім термин басқа экспоненциалды түрде кішігірім терминдерді қосуға немесе өшіруге мүмкіндік береді, бұл өзгеріс Стокс қисығы арқылы жүзеге асады. Осы экспоненциалды түрде кішігірім терминдерді қосу арқасында асимптотикалық кеңеюді бүкіл күрделі домен үшін үздіксіз кеңею ретінде жазуға болады, бұл Стокстің құбылысы парадоксын шешеді.
Стокс қисықтары мен анти-Стокс қисықтары
Стокс қисығының бойымен экспоненциалды түрде кішкентай шама басқа экспоненциалды түрде кішкентай шаманы қосуға немесе өшіруге мүмкіндік береді. Анти-Стокс қисығының бойымен бағынышты экспоненциалды түрде кішкентай шама басым экспоненциалды түрде үлкен шамаға ауысуы немесе керісінше болуы мүмкін. Стокс және анти-Стокс қисықтарындағы осы мінез-құлқының өзгеруі асимптотикалық кеңдеудің дивергенциясына тікелей байланысты. Стокс құбылысын көрсететін асимптотикалық қатарда байқалатын дивергенцияның әдеттегі түрі – қуат бойынша факторлық дивергенция деп аталады және оның жалпы формуласы:
мұнда – префактор деп аталатын функция, – сингулянт деп аталатын функция және – гамма функциясы. Стокс қисықтары шарт арқылы, ал анти-Стокс қисықтары шарт арқылы анықталады.
Мысал: екінші реттік сызықтық дифференциалдық теңдеулер
Эри функциясының мысалын екінші реттік сызықты дифференциалдық теңдеулердің кең класына келесідей жалпылауға болады. Айнмалылардың стандартты түрлендірулері арқылы екінші реттік теңдеуді көбінесе мынадай түрге келтіруге болады:
where f is holomorphic in a simply connected region and w is a solution of the differential equation. Then in some cases the WKB method gives an asymptotic approximation for w as a linear combination of functions of the form
for some constant a. (Choosing different values of a is equivalent to choosing different coefficients in the linear combination.) The anti Stokes lines and Stokes lines are then the zeros of the real and imaginary parts, respectively, of
If a is a simple zero of f then locally f looks like Solutions will locally behave like the Airy functions; they will have three Stokes lines and three anti Stokes lines meeting at a.
мұнда f – жай байланысқан аймақта голоморфты, ал w – дифференциалдық теңдеудің шешімі. Содан кейбір жағдайларда WKB әдісі w үшін асимптотикалық жуықтауды белгілі бір тұрақты a түріндегі функциялардың сызықтық комбинациясы ретінде береді. (a-ның әртүрлі мәндерін таңдау сызықтық комбинациядағы әртүрлі коэффициенттерді таңдаумен бірдей.) Анти-Стокс сызықтары және Стокс сызықтары – сәйкесінше, келесінің нақты және жорамал бөліктерінің нөлдері:
where f is holomorphic in a simply connected region and w is a solution of the differential equation. Then in some cases the WKB method gives an asymptotic approximation for w as a linear combination of functions of the form
for some constant a. (Choosing different values of a is equivalent to choosing different coefficients in the linear combination.) The anti Stokes lines and Stokes lines are then the zeros of the real and imaginary parts, respectively, of
If a is a simple zero of f then locally f looks like Solutions will locally behave like the Airy functions; they will have three Stokes lines and three anti Stokes lines meeting at a.
Егер a – f-тің жай нөлі болса, онда f жергілікті түрде осыған ұқсас болады. Шешімдер жергілікті түрде Эри функциялары сияқты мінез-құлық көрсетеді; оларда a нүктесінде үш Стокс сызығы және үш анти-Стокс сызығы жиналады.
where f is holomorphic in a simply connected region and w is a solution of the differential equation. Then in some cases the WKB method gives an asymptotic approximation for w as a linear combination of functions of the form
for some constant a. (Choosing different values of a is equivalent to choosing different coefficients in the linear combination.) The anti Stokes lines and Stokes lines are then the zeros of the real and imaginary parts, respectively, of
If a is a simple zero of f then locally f looks like Solutions will locally behave like the Airy functions; they will have three Stokes lines and three anti Stokes lines meeting at a.