Феномен Стокса в комплексном анализе: асимптотическое поведение и разрывы расширений.
Stokes phenomenon
Феномен Стокса в комплексном анализе: асимптотическое поведение функций меняется в разных областях. Кривые Стокса и Анти-Стокса определяют эти области.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
В комплексном анализе феномен Стоукса, открытый , заключается в том, что асимптотическое поведение функций может различаться в разных областях комплексной плоскости. Это, казалось бы, порождает парадокс при рассмотрении асимптотического разложения аналитической функции. Поскольку аналитическая функция непрерывна, можно ожидать, что асимптотическое разложение также будет непрерывным. Этот парадокс был предметом ранних исследований Стоукса и известен как феномен Стоукса. Области комплексной плоскости с различным асимптотическим поведением ограничены, возможно, одним или двумя типами кривых, известных как кривые Стоукса и антистоксовы кривые. Этот кажущийся парадокс впоследствии был разрешен, и предполагаемый разрыв в асимптотических разложениях оказался гладким и непрерывным. Для разрешения этого парадокса асимптотическое разложение необходимо рассматривать с осторожностью. В частности, асимптотическое разложение должно включать дополнительные экспоненциально малые члены по отношению к обычным алгебраическим членам, входящим в стандартное асимптотическое разложение. Суть феномена Стоукса в том, что асимптотическое разложение в одной области может содержать экспоненциально малый вклад (пренебрежение которым все равно дает правильное асимптотическое разложение для этой области). Однако этот экспоненциально малый член может стать экспоненциально большим в другой области комплексной плоскости, и это изменение происходит на антистоксовых кривых. Более того, экспоненциально малый член может включать или исключать другие экспоненциально малые члены, и это изменение происходит на кривой Стоукса. Включение этих экспоненциально малых членов позволяет записать асимптотическое разложение в виде непрерывного разложения для всей комплексной области, что разрешает парадокс феномена Стоукса.
In complex analysis the Stokes phenomenon, discovered by , is where the asymptotic behavior of functions can differ in different regions of the complex plane. This seemingly gives rise to a paradox when looking at the asymptotic expansion of an analytic function. Since an analytic function is continuous you would expect the asymptotic expansion to be continuous. This paradox is the subject of Stokes' early research and is known as Stokes phenomenon. The regions in the complex plane with different asymptotic behaviour are bounded by possibly one or two types of curves known as Stokes curves and Anti Stokes Curves. This apparent paradox has since been resolved and the supposed discontinuous jump in the asymptotic expansions has been shown to be smooth and continuous. In order to resolve this paradox the asymptotic expansion needs to be handled in a careful manner. More specifically the asymptotic expansion must include additional exponentially small terms relative to the usual algebraic terms included in a usual asymptotic expansion. What happens in Stokes phenomenon is that an asymptotic expansion in one region may contain an exponentially small contribution (neglecting this contribution still gives a correct asymptotic expansion for that region). However, this exponentially small term can become exponentially large in another region of the complex plane, this change occurs across the Anti Stokes curves. Furthermore the exponentially small term may switch on or off other exponentially small terms, this change occurs across a Stokes curve. Including these exponentially small terms allows the asymptotic expansion to be written as a continuous expansion for the entire complex domain which resolves the Stokes Phenomenon paradox.
Кривые Стокса и антистоксские кривые
По кривой Стоукса экспоненциально малое слагаемое может включать или выключать другое экспоненциально малое слагаемое. По кривой анти-Стоукса субдоминирующее экспоненциально малое слагаемое может переходить в доминирующее экспоненциально большое слагаемое или наоборот. Это изменение поведения на кривых Стоукса и анти-Стоукса напрямую связано с расходимостью асимптотического разложения. Типичный вид расходимости, наблюдаемый в асимптотическом ряду, демонстрирующем феномен Стоукса, известен как расходимость факториала к степени и имеет типичный вид
Across a Stokes curve, an exponentially small term can switch on or off another exponentially small term. Across an anti Stokes curve, a subdominant exponentially small term can switch to a dominant exponentially large term or vice versa. This change in behaviour across the Stokes and anti Stokes curves is directly related to the divergence of the asymptotic expansion. The usual type of divergence seen in an asymptotic series that exhibits Stokes phenomenon is known as factorial over power divergence and has the typical form
где – функция, известная как префактор, – функция, известная как сингулянт, а – гамма-функция. Кривые Стоукса определяются условием , а кривые анти-Стоукса – условием .
Where is a function known as the prefactor, is a function known as the Singulant and is the gamma function. Stokes curves are determined using the condition and Anti Stokes curve are determined by the condition .
Пример: линейные дифференциальные уравнения второго порядка
Пример функции Эйри может быть обобщен на широкий класс линейных дифференциальных уравнений второго порядка следующим образом. При стандартных заменах переменных уравнение второго порядка часто можно привести к виду
The Airy function example can be generalized to a broad class of second order linear differential equations as follows. By standard changes of variables, a second order equation can often be changed to one of the form
где f – голоморфная функция в односвязной области, а w – решение дифференциального уравнения. Тогда в некоторых случаях метод ВКБ дает асимптотическое приближение для w в виде линейной комбинации функций вида
where f is holomorphic in a simply connected region and w is a solution of the differential equation. Then in some cases the WKB method gives an asymptotic approximation for w as a linear combination of functions of the form
для некоторой константы a. (Выбор различных значений a эквивалентен выбору различных коэффициентов в линейной комбинации.) Антистоксовы линии и линии Стокса являются, соответственно, нулями вещественной и мнимой частей выражения
for some constant a. (Choosing different values of a is equivalent to choosing different coefficients in the linear combination.) The anti Stokes lines and Stokes lines are then the zeros of the real and imaginary parts, respectively, of
Если a – простой ноль функции f, то локально f имеет вид. Решения локально будут вести себя как функции Эйри; у них будет три линии Стокса и три антистоксовы линии, пересекающиеся в точке a.
If a is a simple zero of f then locally f looks like Solutions will locally behave like the Airy functions; they will have three Stokes lines and three anti Stokes lines meeting at a.