Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
9 нүкте мен 9 түзудің геометриялық конфигурациясы
Geometric configuration of 9 points and 9 lines
Геометрияда Паппус конфигурациясы – Евклид жазықтығындағы тоғыз нүкте мен тоғыз түзудің конфигурациясы, онда әр түзуде үш нүкте және әр нүкте арқылы үш түзу өтеді.
In geometry, the Pappus configuration is a configuration of nine points and nine lines in the Euclidean plane, with three points per line and three lines through each point.
Тарих және құрылыс
Бұл конфигурация Александриялық Папптың есімімен аталған. Паппустың алтыбұрышты теоремасы бойынша, АВС және abc (екі түзудің қиылысында жатпайтын) коллинеар нүктелердің кез келген екі тобын алты түзу – , , , , және , және олардың үш қиылысу нүктесі арқылы толықтыруға болады. Бұл үш нүкте AbCaBc алтыбұрышының «қарсы» қабырғаларының қиылысу нүктелері болып табылады. Паппустың теоремасына сәйкес, тоғыз нүкте мен сегіз түзуден тұратын жүйеде әрқашан X, Y және Z үш қиылысу нүктесінен өтетін тоғызыншы түзу болады, ол Паппус түзуі деп аталады. Паппус конфигурациясын екі үшбұрыш – △XcC және △YbB, олар бір-біріне перспективалық (сәйкес келетін нүктелер жұбы арқылы өтетін үш түзу бір нүктеде қиылысады) үш түрлі тәсілмен, сондай-ақ олардың үш перспективалық орталықтары Z, a және A арқылы да алуға болады. Конфигурацияның нүктелері үшбұрыштар мен перспективалық орталықтардың нүктелері, ал конфигурацияның түзулері сәйкес келетін нүктелер жұбы арқылы өтетін түзулер болып табылады.
This configuration is named after Pappus of Alexandria. Pappus's hexagon theorem states that every two triples of collinear points ABC and abc (none of which lie on the intersection of the two lines) can be completed to form a Pappus configuration, by adding the six lines , , , , , and , and their three intersection points , , and These three points are the intersection points of the "opposite" sides of the hexagon AbCaBc. According to Pappus' theorem, the resulting system of nine points and eight lines always has a ninth line containing the three intersection points X, Y, and Z, called the Pappus line. The Pappus configuration can also be derived from two triangles △XcC and △YbB that are in perspective with each other (the three lines through corresponding pairs of points meet at a single crossing point) in three different ways, together with their three centers of perspectivity Z, a, and A. The points of the configuration are the points of the triangles and centers of perspectivity, and the lines of the configuration are the lines through corresponding pairs of points.
Қатынасты құрылыстар
Паппус конфигурациясының Леви графигі Паппус графигі деп аталады. Бұл 18 төбесі және 27 қабырғасы бар екі бөлікті симметриялық кубтық граф. Паппус конфигурациясына конфигурацияның түзулерімен байланыспаған нүктелердің әрбір үштігі арқылы тағы үш параллель түзу қосу Гессе конфигурациясын құрайды. Паппус конфигурациясы сияқты, Десарг конфигурациясын да перспективалық үшбұрыштар арқылы анықтауға болады, ал Рей конфигурациясын екі тетраэдр арқылы, олар бір-бірімен төрт түрлі тәсілмен перспективада орналасқан, тетраэдрлердің десмикалық жүйесін құрап анықтауға болады. Евклид жазықтығындағы ешқандай ерекшеліктері жоқ кубтық жазық қисығы үшін, қисықтың үш нақты иілу нүктесі және қисықтағы төртінші нүкте үшін, осы төрт нүктеден Паппус конфигурациясын құрудың жалғыз жолы бар, осылайша барлық тоғыз нүкте қисық бойында орналасады.
The Levi graph of the Pappus configuration is known as the Pappus graph. It is a bipartite symmetric cubic graph with 18 vertices and 27 edges. Adding three more parallel lines to the Pappus configuration, through each triple of points that are not already connected by lines of the configuration, produces the Hesse configuration. Like the Pappus configuration, the Desargues configuration can be defined in terms of perspective triangles, and the Reye configuration can be defined analogously from two tetrahedra that are in perspective with each other in four different ways, forming a desmic system of tetrahedra. For any nonsingular cubic plane curve in the Euclidean plane, three real inflection points of the curve, and a fourth point on the curve, there is a unique way of completing these four points to form a Pappus configuration in such a way that all nine points lie on the curve.
Қолданбалар
Паппус конфигурациясының бір түрі жеміс бағын отырғызу мәселесіне шешім ұсынады, яғни үш нүкте арқылы өтетін ең көп сызықтар жиынтығын табу мәселесіне. Паппус конфигурациясының тоғыз нүктесі тек тоғыз үш нүктелі сызықтан тұрады. Дегенмен, оларды басқаша орналастыру арқылы тағы бір үш нүктелі сызық жасауға болады, сонда барлығы он сызыққа жетеді. Бұл тоғыз нүкте арқылы өтетін үш нүктелі сызықтардың ең көп мүмкін саны.
A variant of the Pappus configuration provides a solution to the orchard planting problem, the problem of finding sets of points that have the largest possible number of lines through three points. The nine points of the Pappus configuration form only nine three point lines. However, they can be arranged so that there is another three point line, making a total of ten. This is the maximum possible number of three point lines through nine points.