Конфигурация Паппа: 9 точек и 9 линий в геометрии. Теорема Паппа о шестиугольнике и построение конфигурации из треугольников. Геометрические свойства и теоремы.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Геометрическая конфигурация из 9 точек и 9 линий
Geometric configuration of 9 points and 9 lines
В геометрии конфигурация Паппуса — это конфигурация, состоящая из девяти точек и девяти линий на евклидовой плоскости, причём на каждой линии лежат три точки и через каждую точку проходят три линии.
In geometry, the Pappus configuration is a configuration of nine points and nine lines in the Euclidean plane, with three points per line and three lines through each point.
История и строительство
Эта конфигурация названа в честь Паппа Александрийского. Теорема Паппа о шестиугольнике утверждает, что любые две тройки коллинеарных точек ABC и abc (ни одна из которых не лежит на пересечении двух прямых) могут быть дополнены до конфигурации Паппа, путем добавления шести прямых, , , , и , и их трех точек пересечения , , и . Эти три точки являются точками пересечения "противоположных" сторон шестиугольника AbCaBc. Согласно теореме Паппа, полученная система из девяти точек и восьми прямых всегда имеет девятую прямую, содержащую три точки пересечения X, Y и Z, называемую линией Паппа. Конфигурация Паппа также может быть получена из двух треугольников △XcC и △YbB, находящихся в перспективе (три прямые, проходящие через соответствующие пары точек, пересекаются в одной точке) тремя различными способами, вместе с их тремя центрами перспективности Z, a и A. Точки конфигурации – это вершины треугольников и центры перспективности, а линии конфигурации – это прямые, проходящие через соответствующие пары точек.
This configuration is named after Pappus of Alexandria. Pappus's hexagon theorem states that every two triples of collinear points ABC and abc (none of which lie on the intersection of the two lines) can be completed to form a Pappus configuration, by adding the six lines , , , , , and , and their three intersection points , , and These three points are the intersection points of the "opposite" sides of the hexagon AbCaBc. According to Pappus' theorem, the resulting system of nine points and eight lines always has a ninth line containing the three intersection points X, Y, and Z, called the Pappus line. The Pappus configuration can also be derived from two triangles △XcC and △YbB that are in perspective with each other (the three lines through corresponding pairs of points meet at a single crossing point) in three different ways, together with their three centers of perspectivity Z, a, and A. The points of the configuration are the points of the triangles and centers of perspectivity, and the lines of the configuration are the lines through corresponding pairs of points.
Связанные конструкции
Граф Леви конфигурации Паппуса известен как граф Паппуса. Это двудольный симметричный кубический граф с 18 вершинами и 27 ребрами. Добавление трех дополнительных параллельных прямых к конфигурации Паппуса, проходящих через каждую тройку точек, которые еще не соединены прямыми конфигурации, приводит к конфигурации Гессе. Подобно конфигурации Паппуса, конфигурация Дезарга может быть определена в терминах перспективных треугольников, а конфигурация Рейе может быть определена аналогичным образом из двух тетраэдров, находящихся в перспективе друг с другом четырьмя различными способами, образуя десмическую систему тетраэдров. Для любой невырожденной кубической плоской кривой в евклидовой плоскости, трех действительных точек перегиба кривой и четвертой точки на кривой, существует единственный способ дополнить эти четыре точки до конфигурации Паппуса таким образом, чтобы все девять точек лежали на кривой.
The Levi graph of the Pappus configuration is known as the Pappus graph. It is a bipartite symmetric cubic graph with 18 vertices and 27 edges. Adding three more parallel lines to the Pappus configuration, through each triple of points that are not already connected by lines of the configuration, produces the Hesse configuration. Like the Pappus configuration, the Desargues configuration can be defined in terms of perspective triangles, and the Reye configuration can be defined analogously from two tetrahedra that are in perspective with each other in four different ways, forming a desmic system of tetrahedra. For any nonsingular cubic plane curve in the Euclidean plane, three real inflection points of the curve, and a fourth point on the curve, there is a unique way of completing these four points to form a Pappus configuration in such a way that all nine points lie on the curve.
Приложения
Вариант конфигурации Паппуса предоставляет решение задачи о посадке сада, заключающейся в поиске наборов точек, обладающих максимально возможным количеством прямых, проходящих через три точки. Девять точек конфигурации Паппуса образуют лишь девять прямых, определяемых тремя точками. Однако их можно расположить таким образом, чтобы появилась еще одна такая прямая, итого десять. Это максимальное возможное число прямых, проходящих через три точки, для девяти точек.
A variant of the Pappus configuration provides a solution to the orchard planting problem, the problem of finding sets of points that have the largest possible number of lines through three points. The nine points of the Pappus configuration form only nine three point lines. However, they can be arranged so that there is another three point line, making a total of ten. This is the maximum possible number of three point lines through nine points.