Кіріспе

Дифференциалдық геометрияның бір саласы

Математикада систолалық геометрия – Чарльз Лоунер бастапқыда ұсынған және Михаил Громов, Майкл Фридман, Питер Сарнак, Михаил Кац, Ларри Гут және басқалар арифметикалық, эргодикалық және топологиялық түрлерінде дамытқан, көпқырлылар мен манифольдтардың систолалық инварианттарын зерттейтін сала. "Систолалық геометрияға кіріспе" деген мақалаға да қараңыз.

Систола түсінігі

X компактты метрикалық кеңістігінің систоласы – X-тің метрикалық инварианты болып табылады, ол X-тегі қысқартылмайтын циклдің ең кіші ұзындығы ретінде анықталады (яғни, X кеңістігіндегі бір нүктеге дейін қысқартылуы мүмкін емес цикл). Техникалық тұрғыдан алғанда, X-тің негізгі тобындағы тривиальды емес конъюгация кластарын көрсететін еркін циклдардағы ұзындықты кішітеміз. Егер X граф болса, онда бұл инвариант әдетте W. T. Tutte-тің 1947 жылғы мақаласынан бері «айналым» деп аталады. Мүмкін, Tutte-тің мақаласынан шабыттанған Loewner 1940 жылдардың соңында беттердегі систолалық мәселелерді қарастыра бастады, нәтижесінде оның шәкірті Pao Ming Pu 1950 жылы диссертация қорғады. «Систола» термині бұдан ширек ғасыр өткен соң ғана Marcel Berger қолданды. Бұл зерттеу бағыты, Р. Accola мен C. Blatter еңбектері жарық көргеннен кейін көп ұзамай, 1961–62 оқу жылында Страсбург университетінің кітапханасында Berger-мен болған әңгімеде René Thom-ның айтқан сөзінің арқасында одан әрі дамыды. Осы систолалық теңсіздіктерге сілтеме жасай, Thom: «Mais c'est fondamental!» [Бұл нәтижелер өте маңызды!] деп айтқан екен. Кейіннен Berger бұл тақырыпты бірқатар мақалалар мен кітаптарда кеңінен таныстырды, соңғысы 2008 жылдың наурыз айында жарық көрген «Американдық математикалық қоғамның хабарламалары» журналында жарияланды (қараңыз, төмендегі сілтеме). Систолалық геометрия және топологияға арналған веб-сайттағы библиографияда қазіргі таңда 160-тан астам мақала тіркелген. Систолалық геометрия – қарқынды дамып келе жатқан сала, онда жетекші журналдарда көптеген жаңа жарияланымдар пайда болып жатыр. Жақында (Katz және Rudyak-тың 2006 жылғы мақаласын қараңыз) Lusternik–Schnirelmann категориясымен байланыс анықталды. Мұндай байланыстың болуын систолалық топологиядағы теорема деп қарастыруға болады.

Громовтың тұрақты теңсіздік

1 систолалық инвариант (бұраулар ұзындығы бойынша анықталады) пен жоғары, k систолалық инварианттар (циклдер ауданы бойынша анықталады және т.б.) арасындағы маңызды айырмашылықты ескеру қажет. 1 систолаға қатысты бірнеше оңтайлы систолалық теңсіздіктер қазірдің өзінде алынған, ал жоғары k систолаларын ғана қамтитын жалғыз оңтайлы теңсіздік – күрделі проекциялық кеңістік үшін Громовтың оңтайлы тұрақты 2 систолалық теңсіздігі. Онда оңтайлы шекке кванттық механикамен байланысты симметриялық Фубини–Студи метрикасы жетеді. Мұнда Римандық көпқырлы M-нің тұрақты 2 систоласы тұрақты норманы қолдану арқылы анықталады, ал λ1 – тордың нөлдік емес элементінің ең кішкентай нормасы. Громовтың тұрақты теңсіздігінің қаншалықты ерекше екені жақында ғана анық болды. Атап айтқанда, күтілмегендей, кватерниондық проекциялық жазықтықтағы симметриялық метрика оның систолалық жағынан оңтайлы метрикасы емес екені анықталды, бұл күрделі жағдайдағы 2 систолаға қайшы. Кватерниондық проекциялық жазықтықтың симметриялық метрикасы орташа өлшемді тұрақты систолалық қатынасы 10/3-ке ие болса, күрделі проекциялық 4 кеңістігінің симметриялық метрикасы үшін ұқсас қатынас 6 мәнін береді, ал осы кеңістіктердің кез келген метрикасы үшін қол жетімді ең жоғары шек 14-ке тең. Бұл жоғары шек E7 Ли алгебрасының қасиеттерімен байланысты. Егер 8-өлшемді кеңістік ерекше Spin(7) голономиясымен және 4-ші Бетти саны 1-ге тең болса, онда 14 мәні шынымен оңтайлы болады. Spin(7) голономиясы бар көпқырлыларды Доминик Джойс жан-жақты зерттеді.

2-систолалардың төменгі шектері

Сол сияқты, k = 2 үшін k-систоланың дерлік жалғыз маңызды төменгі шекарасы өлшегіш теориясы және J-голоморфтық қисықтар саласындағы соңғы зерттеулердің нәтижесі болып табылады. 4-көптүрліліктердің конформды 2-систолаларының төменгі шектерін зерттеу Джейк Соломонның кезеңдік картаның бейнесінің тығыздығын дәлелдеуді жеңілдетті.

Шотки проблемасы

Мүмкін, систолалардың ең керемет қолданыстарының бірі – П. Бузер мен П. Сарнақтың Шотки проблемасы аясында, олар Риман беттерінің Якобиандарын негізгі поляризацияланған абельдік түрлердің арасынан ажыратып, систолалық арифметиканың негізін салды.

LusternikSchnirelmann санаты

Систоликалық сұрақтар қою жиі осыған байланысты салалардағы сұрақтарды тудырады. Осылайша, көпқырлының систолалық категориясы ұғымы анықталды және зерттелді, ол Л. Шнирельман категориясына (ЛС категориясы) байланысты екенін көрсетеді. Систолалық категорияның (ЛС категориясымен бірге) анықтамасы бойынша бүтін сан екеніне назар аударыңыз. Екі категорияның да екі бет және 3-көпқырлы үшін сәйкес келетіні көрсетілді. Сонымен қатар, бағдарланған 4-көпқырлылар үшін систолалық категория ЛС категориясының төменгі шегі болып табылады. Қатынас орнатылғаннан кейін, әсер өзара болады: ЛС категориясы туралы белгілі нәтижелер систолалық сұрақтарды ынталандырады, және керісінше. Жаңа инвариант Кац пен Рудяк енгізді (төменде қараңыз). Инвариант Лұстерник-Шнирельман категориясымен (ЛС категориясы) тығыз байланысты болғандықтан, ол систолалық категория деп аталды. М-көпқырлының систолалық категориясы М-нің әртүрлі k-систолалары арқылы анықталады. Шамамен айтқанда, идея мынадай: берілген М-көпқырлы үшін, М-нің жалпы көлеміне "қисықтықсыз" төменгі шек беретін (метрикаға тәуелсіз тұрақты) систолалардың ең ұзын көбейтіндісі ізделеді. М-нің жамылғыларының систолалық инварианттарын да анықтамаға қосу орынды. Мұндай "ең ұзын көбейтіндідегі" факторлар саны, анықтама бойынша, М-нің систолалық категориясы болып табылады.

Мысалы, Громов н-маңызды көпқырлының көлеміне н-шы күшіндегі гомотопиялық 1-систола бойынша төменгі шек қоятынын көрсетті (жоғарыдағы бөлімді қараңыз). Осыдан кейін, н-маңызды көпқырлының систолалық категориясы дәл н-ге тең. Шындығында, жабық н-көпқырлы үшін ЛС категориясының және систолалық категорияның максималды мәні бірдей уақытта қол жеткізіледі. Екі категория арасындағы қызықты қатынастың бар екендігіне тағы бір меңзеу – бұл кубок ұзындығы деп аталатын инвариантпен байланыс. Осылайша, нақты кубок ұзындығы екі категорияның төменгі шегі болып табылады. Систолалық категория бірқатар жағдайларда, оның ішінде 2 және 3 өлшемді көпқырлылардың жағдайында ЛС категориясымен сәйкес келеді. 4-өлшемде систолалық категория ЛС категориясының төменгі шегі екені жақында көрсетілді.

Систолалық гиперболалық геометрия

Гиперболалық беттердің үлкен g туысы үшін асимптотикалық мінез-құлқын зерттеу қызықты тұрақтыларды ашады. Сондықтан, (2,3,7) гиперболалық үшбұрыш тобының негізгі конгруэнттік кіші топтарының тізбегімен анықталған Хурвиц беттері Σg келесі шектеуді қанағаттандырады:

және ұқсас шектеу жалпы арифметикалық Фуксиан топтары үшін де қолданылады. 2007 жылғы Кац, Шапс және Вишненің бұл нәтижесі Питер Бузер мен Питер Сарнақтың Q үстінде анықталған арифметикалық топтар жағдайындағы нәтижелерін, олардың 1994 жылғы маңызды еңбегінен кеңейтеді. Гиперболалық геометриядағы систолалар туралы библиографияда қазіргі таңдағы соңғы есеп бойынша қырық мақала тіркелген. Болза беті, Клейн квартигі, Макбит беті, Бірінші Хурвиц триплеті қызықты мысалдар келтіреді.

Қарым-қатынас салалары, көлемдік энтропия

Үлкен гендерлі беттердің систоласы үшін асимптотикалық құбылыстар қызықты эргодикалық құбылыстармен және арифметикалық топтардың конгруэнттік кіші топтарының қасиеттерімен байланысты екені көрсетілді. Гомотопиялық систолаға қатысты Громовтың 1983 жылғы теңсіздігі, әсіресе, асфералық беттің ауданы үшін оның систоласы бойынша бірыңғай төменгі шектейді. Мұндай шектеу Лоунер мен Пу теңсіздіктерін, оптималды емес болса да, жалпылайды. Громовтың 1983 жылғы мақаласында сондай-ақ систола мен ауданды байланыстыратын асимптотикалық шекаралар бар, олар біркелкі шектеуді жақсартады (барлық өлшемдерде жарамды). Жақында (Кац пен Сабораудың төмендегі мақаласын қараңыз) көлемдік энтропия h, А. Катоктың h үшін оптималды теңсіздігімен бірге, үлкен гендерлі беттердің систолалық қатынасы үшін М. Громовтың асимптотикалық шегінің түсінікті дәлеліндегі "дұрыс" аралық екені анықталды. А. Катоктың классикалық нәтижесінде теріс Эйлерлік сипаттамасы бар жабық M бетіндегі әрбір метрика энтропия мен ауданды байланыстыратын оптималды теңсіздікті қанағаттандырады. Бұл жабық беттің ең төменгі энтропиясы оның оптималды систолалық қатынасымен байланысты болуы мүмкін екені анықталды. Атап айтқанда, систолалық экстремалды беттің энтропиясы үшін жоғарғы шек бар, ол оның систоласы арқылы беріледі. Бұл жоғарғы шекті көлем бойынша Катоктың оптималды төменгі шектерімен біріктіру арқылы үлкен гендерлі беттердің оптималды систолалық қатынасы үшін Громовтың асимптотикалық бағалауының қарапайым балама дәлелін аламыз. Бұдан әрі, мұндай тәсіл Громов теоремасындағы жақсартылған көбейту тұрақтысын береді. Қолданыс ретінде, бұл әдіс кемінде 20 гендерлі беттегі әрбір метрика Лоунердің торс теңсіздігін қанағаттандырады дегенді білдіреді. Бұл Громовтың бағалауынан туындаған бұрынғы ең жақсы бағалауды 50-ге жақсартады.

Толу ауданы болжамы

Громовтың толтыру ауданы болжамы гиперэллиптік жағдайда дәлелденді (Бангерт және басқалардың сілтемелерін қараңыз). Толтыру ауданы болжамы, ұзындығы 2π болатын Риманн шеңберін, қатты изометриялық қасиеті бар бетпен барлық мүмкін толтырулардың ішінде, дөңгелек жарты шардың ең аз ауданға ие екенін күтіп тұрады. Мұнда Риманн шеңбері – жалпы көлемі 1, 2π және диаметрі π болатын бірегей жабық 1 өлшемді Риманн көптүстігі. Болжамды түсіндіру үшін, 2 бірлік сфераның экваторлық шеңбері S2 ⊂ R3, ұзындығы 2π және диаметрі π болатын Риманн шеңбері S1 екенін атап өтейік. Нақтырақ айтқанда, S1-дің Риманн қашықтық функциясы, сферадағы қоршаған Риманн қашықтығының шектеуі болып табылады. Бұл қасиет, бірлік шеңбердің Евклид жазықтығына стандартты енгізілуімен қамтамасыз етілмейді, онда қарама-қарсы нүктелердің арақашықтығы 2-ге тең, π емес. Біз S1-ді бетпен толтырудың барлық жағдайларын қарастырамыз, мұнда шеңберді беттің шекарасы ретінде енгізу арқылы анықталған шектелген метрика, 2π ұзындығы шеңбердің Риманн метрикасы болып табылады. Шеңберді шекара ретінде енгізуді, шеңбердің қатты изометриялық енгізілуі деп атаймыз. 1983 жылы Громов, дөңгелек жарты шардың барлық толтыру беттері арасында шеңберді толтырудың "ең жақсы" тәсілі екенін болжады. Жай байланысқан толтырулардың жағдайы Пу теңсіздігімен эквивалентті. Жақында, 1-тұқымдық толтырулардың жағдайы да оң шешімін тапты (Бангерт және басқалардың сілтемелерін қараңыз). Яғни, интегралды геометриядан Дж. Герштің жарты ғасырлық формуласын қолдануға болады. Атап айтқанда, футбол допшасындағы 8-сурет тәрізді циклдер отбасын қарастырайық, олардың өзара қиылысу нүктесі экваторда орналасқан (мақаланың басындағы суретті қараңыз). Герш формуласы, футболдың конформдық класындағы метриканың ауданын, осы отбасынан алынған 8-сурет тәрізді циклдердің энергиясының орташа мәні ретінде көрсетеді. Герш формуласын Риман бетінің гиперэллиптикалық бөлігіне қолдану, осы жағдайда толтыру ауданы болжамын дәлелдейді. Гиперэллиптикалықтың басқа систолалық салдары 2-тұқымда анықталды.

Сауалнамалар

Бұл саладағы еңбектерге М. Бергердің шолуы (1993), Громовтың шолуы (1996), Громовтың кітабы (1999), Бергердің панорамалық кітабы (2003), сондай-ақ Кацтың кітабы (2007) жатады. Бұл сілтемелер салаға жаңа кіргендерге көмектесе алады. Оларда шешімін табу қажет ашық мәселелер де бар.