Введение

Форма дифференциальной геометрии

В математике систолическая геометрия — это изучение систолических инвариантов многообразий и полиэдров, первоначально разработанное Чарльзом Лоунером и развитое Михаилом Громовым, Майклом Фридманом, Питером Сарнаком, Михаилом Кацем, Ларри Гутом и другими, в её арифметических, эргодических и топологических аспектах. См. также Введение в систолическую геометрию.

Понятие систолы

Систола компактного метрического пространства X является метрическим инвариантом X, определяемым как наименьшая длина нестягиваемой петли в X (т. е. петли, которую нельзя стянуть в точку в окружающем пространстве X). В более строгом смысле, мы минимизируем длину свободных циклов, представляющих нетривиальные классы сопряженности в фундаментальной группе X. Когда X является графом, этот инвариант обычно называют длиной кратчайшего цикла, начиная со статьи 1947 года об этом понятии, написанной У. Т. Тутте. Возможно, вдохновленный работой Тутте, Лоунер начал рассматривать систолические вопросы на поверхностях в конце 1940-х годов, что привело к диссертации его студента Пао Минга Пу в 1950 году. Сам термин "систола" был введен лишь спустя четверть века Марселем Бергером. Эта область исследований, по-видимому, получила дополнительный импульс благодаря замечанию Рене Тома в беседе с Бергером в библиотеке Страсбургского университета в 1961–62 учебном году, вскоре после публикации работ Р. Акколы и К. Блаттера. Говоря об этих систолических неравенствах, Том, по сообщениям, воскликнул: Mais c'est fondamental! [Эти результаты имеют фундаментальное значение!] Впоследствии Бергер популяризировал эту тему в серии статей и книг, в последний раз – в мартовском выпуске Notices of the American Mathematical Society за 2008 год (см. ссылку ниже). Библиография на веб-сайте, посвященном систолической геометрии и топологии, в настоящее время содержит более 160 статей. Систолическая геометрия – это быстро развивающаяся область, характеризующаяся множеством недавних публикаций в ведущих журналах. Недавно (см. статью Каца и Рудяка 2006 года ниже) была установлена связь с категорией Люстерника–Шнирельмана. Существование такой связи можно рассматривать как теорему в систолической топологии.

Стабильное неравенство Громова

Существенная разница между 1-й систолической инвариантой (определенной в терминах длин петель) и высшими, k-ми систолическими инвариантами (определенными в терминах площадей циклов и т. д.) должна учитываться. В то время как ряд оптимальных систолических неравенств, включающих 1-ю систолу, к настоящему времени был получен, практически единственным оптимальным неравенством, включающим только высшие k-систолы, является оптимальное стабильное 2-систолическое неравенство Громова для комплексного проективного пространства, где оптимальная граница достигается симметричной метрикой Фубини–Студи, указывающей на связь с квантовой механикой. Здесь стабильная 2-систола риманова многообразия M определяется как

где — стабильная норма, а λ1 — наименьшая норма ненулевого элемента решетки. Насколько исключительным является стабильное неравенство Громова, стало ясно лишь недавно. А именно, было обнаружено, что вопреки ожиданиям, симметричная метрика на кватернионной проективной плоскости не является ее систолически оптимальной метрикой, в отличие от 2-й систолы в комплексном случае. В то время как кватернионная проективная плоскость с ее симметричной метрикой имеет стабильное систолическое отношение среднего измерения, равное 10/3, аналогичное отношение для симметричной метрики комплексного проективного пространства размерности 4 дает значение 6, в то время как лучшая доступная верхняя граница для такого отношения произвольной метрики на обоих этих пространствах составляет 14. Эта верхняя граница связана со свойствами алгебры Ли E7. Если существует 8-мерное многообразие с исключительной Spin(7)-голономией и 4-м числом Бетти, равным 1, то значение 14 на самом деле является оптимальным. Многообразия с Spin(7)-голономией интенсивно изучались Домиником Джойсом.

Нижние пределы для 2-систол

Аналогичным образом, практически единственная нетривиальная нижняя оценка для k-систолы при k = 2 получена в результате недавних исследований в теории калибрований и J-голоморфных кривых. Изучение нижних оценок для конформной 2-систолы 4-многообразий привело к упрощенному доказательству плотности образа карты периодов, выполненному Джейком Соломоном.

Проблема Шоттки

Возможно, одно из наиболее впечатляющих применений систол связано с проблемой Шоттки, решенной П. Бузером и П. Сарнаком, которые выделили якобианы римановых поверхностей среди главным образом поляризованных абелевых многообразий, заложив основы систолической арифметики.

Категория LusternikSchnirelmann

Задавая систолические вопросы, часто возникают вопросы в смежных областях. Таким образом, было определено и исследовано понятие систолической категории многообразия, демонстрирующее связь с категорией Люстерника — Шнирельмана (категория LS). Следует отметить, что систолическая категория (как и категория LS) по определению является целым числом. Было показано, что эти две категории совпадают для поверхностей и трёхмерных многообразий. Кроме того, для ориентируемых четырёхмерных многообразий систолическая категория является нижней границей для категории LS. После установления связи влияние взаимно: известные результаты о категории LS стимулируют систолические вопросы, и наоборот. Новый инвариант был введен Кацем и Рудяком (см. ниже). Поскольку инвариант оказался тесно связан с категорией Люстерника — Шнирельмана (категория LS), он был назван систолической категорией. Систолическая категория многообразия M определяется с точки зрения различных k-систол M. Грубо говоря, идея заключается в следующем. Для заданного многообразия M ищут самое длинное произведение систол, которое даёт «свободную от кривизны» нижнюю границу для общего объёма M (с постоянной, не зависящей от метрики). Естественно, в определение также следует включать систолические инварианты накрытий M. Количество сомножителей в таком «самом длинном произведении» по определению является систолической категорией M.

Например, Громов показал, что существенное n-многообразие допускает нижнюю границу объёма, выраженную через n-ю степень гомотопической 1-систолы (см. раздел выше). Отсюда следует, что систолическая категория существенного n-многообразия равна точно n. Фактически, для замкнутых n-многообразий максимальное значение как категории LS, так и систолической категории достигается одновременно. Ещё одним указанием на существование интересной связи между двумя категориями является их отношение к инварианту, называемому длиной чашки. Таким образом, действительная длина чашки оказывается нижней границей для обеих категорий. Систолическая категория совпадает с категорией LS в ряде случаев, включая случай многообразий размерности 2 и 3. В размерности 4 недавно было показано, что систолическая категория является нижней границей для категории LS.

Систолическая гиперболическая геометрия

Изучение асимптотического поведения систолы гиперболических поверхностей при больших значениях рода g выявляет некоторые интересные константы. Так, поверхности Hurwitz Σg, определяемые башней главных конгруэнтных подгрупп гиперболической треугольной группы (2,3,7), удовлетворяют следующему неравенству:

и аналогичное неравенство справедливо для более общих арифметических групп Фукса. Этот результат 2007 года, полученный Кацем, Шапсом и Вишне, обобщает результаты Питера Бузера и Питера Сарнака для арифметических групп, определенных над Q, из их основополагающей работы 1994 года. В настоящее время библиография по систолам в гиперболической геометрии насчитывает около сорока статей. Интересные примеры дают поверхность Болзы, квартика Клейна, поверхность Макбита и первое тройное покрытие Hurwitz.

Связанные области, энтропия объема

Было показано, что асимптотические явления для систолы поверхностей больших родов связаны с интересными эргодическими явлениями и свойствами конгруэнтных подгрупп арифметических групп. Неравенство Громова 1983 года для гомотопической систолы, в частности, подразумевает однородную нижнюю оценку площади асферической поверхности через её систолу. Эта оценка обобщает неравенства Лоунера и Пу, хотя и не является оптимальной. В основополагающей работе Громова 1983 года также содержатся асимптотические оценки, связывающие систолу и площадь, которые улучшают однородную оценку (верную во всех размерностях). Недавно было обнаружено (см. статью Каца и Саборау ниже), что объемная энтропия h, вместе с оптимальным неравенством А. Катока для h, является "правильным" звеном в прозрачном доказательстве асимптотической оценки М. Громова для систолического отношения поверхностей большого рода. Классический результат А. Катока утверждает, что для любой метрики на замкнутой поверхности M с отрицательной эйлеровой характеристикой выполняется оптимальное неравенство, связывающее энтропию и площадь. Оказывается, минимальная энтропия замкнутой поверхности может быть связана с её оптимальным систолическим отношением. А именно, существует верхняя граница для энтропии систолически экстремальной поверхности, выраженная через её систолу. Комбинируя эту верхнюю границу с оптимальной нижней границей Катока, выраженной через объем, можно получить более простое альтернативное доказательство асимптотической оценки Громова для оптимального систолического отношения поверхностей большого рода. Более того, такой подход позволяет получить улучшенную мультипликативную константу в теореме Громова. В качестве приложения, этот метод показывает, что любая метрика на поверхности рода не менее 20 удовлетворяет неравенству тора Лоунера. Это улучшает наилучшую предыдущую оценку, равную 50, полученную из оценки Громова.

Предполагаемая площадь заполнения

Гипотеза о площади заполнения Громова была доказана в гиперэллиптической постановке (см. ссылку Bangert et al. ниже). Гипотеза о площади заполнения утверждает, что среди всех возможных заполнений риманова круга длиной 2π поверхностью, обладающей свойством сильной изометрии, круглое полушарие имеет наименьшую площадь. Здесь риманов круг относится к единственному замкнутому одномерному риманову многообразию с общей мерой объема 1, объемом 2π и римановым диаметром π. Чтобы объяснить гипотезу, начнем с замечания, что экваториальный круг на единичной сфере S² ⊂ R³ является римановым кругом S¹ длиной 2π и диаметром π. Более точно, риманова функция расстояния на S¹ является ограничением внешней римановой метрики на сфере. Это свойство не выполняется при стандартном вложении единичного круга в евклидову плоскость, где пара противоположных точек находится на расстоянии 2, а не π. Мы рассматриваем все заполнения S¹ поверхностью, такие что ограниченная метрика, определяемая включением круга в качестве границы поверхности, является римановой метрикой круга длиной 2π. Включение круга в качестве границы называется сильным изометрическим вложением круга. В 1983 году Громов предположил, что круглое полушарие дает "наилучший" способ заполнения круга среди всех заполняющих поверхностей. Случай простосвязных заполнений эквивалентен неравенству Пу. Недавно случай заполнений рода 1 также был успешно разрешен (см. ссылку Bangert et al. ниже). А именно, оказывается, что можно использовать полувековую формулу Дж. Герша из интегральной геометрии. Например, рассмотрим семейство петель в форме восьмерки на "футбольном мяче", с точкой самопересечения на экваторе (см. рисунок в начале статьи). Формула Герша выражает площадь метрики в конформном классе "футбольного мяча" как среднее значение энергий петель из этого семейства. Применение формулы Герша к гиперэллиптическому частному поверхности Римана доказывает гипотезу о площади заполнения в этом случае. Другие систолические следствия гипереллиптичности были выявлены для рода 2.

Опросы

В обзорах по данной области следует отметить обзор М. Бергера (1993), обзор Громова (1996), книгу Громова (1999), панорамную книгу Бергера (2003), а также книгу Каца (2007). Эти работы могут помочь начинающему ознакомиться с областью и содержат открытые вопросы для дальнейших исследований.