Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Кіріспе
Дифференциалдық геометрияда кватерниондық Кэхлер көптүрлілігі (немесе кватерниондық Кэхлер көптүрлілігі) — Римандық 4n өлшемді көптүрлілік, оның Римандық голономиялық тобы Sp(n)·Sp(1) тобының кіші тобы болып табылады. Мұнда Sp(n) — сол жақтан кватерниондық матрицаға көбейту арқылы туындайтын ортогоналды түрлендірулерден тұратын кіші топ, ал бірлік ұзындығы бар кватерниондар тобы кватерниондық кеңістікте оң жақтан скалярлық көбейту арқылы әрекет етеді. Осы әрекеттерді біріктіру арқылы жасалған Ли тобы абстрактілі түрде изоморфты болады. Жоғарыдағы анықтаманың кең нұсқасы гиперкэхлер көптүрліліктерін де қамтиды, бірақ оларды есепке алмау үшін скалярлық қисықтықтың нөлден өзгеше болуын талап етеді – бұл голономиялық топ толық Sp(n)·Sp(1) тобына тең болған жағдайда автоматты түрде орындалады.
In differential geometry, a quaternion Kähler manifold (or quaternionic Kähler manifold) is a Riemannian 4n manifold whose Riemannian holonomy group is a subgroup of Sp(n)·Sp(1) for some Here Sp(n) is the sub group of consisting of those orthogonal transformations that arise by left multiplication by some quaternionic matrix, while the group of unit length quaternions instead acts on quaternionic space by right scalar multiplication. The Lie group generated by combining these actions is then abstractly isomorphic to
Although the above loose version of the definition includes hyperkähler manifolds, the standard convention of excluding these will be followed by also requiring that the scalar curvature be non zero— as is automatically true if the holonomy group equals the entire group Sp(n)·Sp(1).
Ерте тарих
Марсель Бергердің 1955 жылғы Риманн голономиялық топтарды жіктеу туралы мақаласы Sp(n)·Sp(1) голономиясы бар симметриялық емес көптүрліліктердің болуы мәселесін алғаш көтерді. 1960 жылдардың ортасында Эдмонд Бонан мен Крайнстің пионерлік жұмысында қызықты нәтижелер дәлелденді, олар тәуелсіз түрде мұндай кез келген көптүрлілік параллель 4-форманы қабылдайтынын көрсетті. Күткен күшті Лефшец теоремасының аналогы 1982 жылы жарияланды:
Marcel Berger's 1955 paper on the classification of Riemannian holonomy groups first raised the issue of the existence of non symmetric manifolds with holonomy Sp(n)·Sp(1). Interesting results were proved in the mid 1960s in pioneering work by Edmond Bonan and Kraines who have independently proven that any such manifold admits a parallel 4 form The long awaited analog of strong Lefschetz theorem was published in 1982 :
Бергердің Риманн голономияларын жіктеу контекстінде кватерниондық Кэхлер көптүрліліктері арнайы голономиясы бар, қайталанбайтын, симметриялық емес көптүрліліктердің жалғыз класын құрайды, олар автоматты түрде Эйнштейн, бірақ автоматты түрде Риччи-жазық емес. Егер қарапайым байланысқан көптүрліліктің holonomy in-дегі Эйнштейн тұрақтысы нөл болса, онда holonomy шын мәнінде , ал көптүрлілік гиперкэхлер болып табылады. Бұл жағдай кватерниондық Кэхлер деп айқындағанда holonomy тобы тек қана -ге ғана кірмейтінін, сонымен қатар көптүрліліктің нөлдік емес (тұрақты) скалярлық қисықтығы бар екенін көрсетеді. Осы конвенция бойынша кватерниондық Кэхлер көптүрліліктерін Риччи қисықтығы оң және теріс болатындарына табиғи түрде бөлуге болады.
In the context of Berger's classification of Riemannian holonomies, quaternion Kähler manifolds constitute the only class of irreducible, non symmetric manifolds of special holonomy that are automatically Einstein, but not automatically Ricci flat. If the Einstein constant of a simply connected manifold with holonomy in is zero, where , then the holonomy is actually contained in , and the manifold is hyperkähler. This case is excluded from the definition by declaring quaternion Kähler to mean not only that the holonomy group is contained in , but also that the manifold has non zero (constant) scalar curvature. With this convention, quaternion Kähler manifolds can thus be naturally divided into those for which the Ricci curvature is positive, and those for which it is instead negative.