Введение

В дифференциальной геометрии кватернионное многообразие Кэлера (или кватернионно-кэлерово многообразие) — это риманово многообразие размерности 4n, чья риманова группа голономии является подгруппой Sp(n)·Sp(1) для некоторого n. Здесь Sp(n) — это подгруппа группы ортогональных преобразований, состоящая из тех, которые возникают при левом умножении на некоторую кватернионную матрицу, в то время как группа кватернионов единичной длины действует на кватернионное пространство посредством правого скалярного умножения. Группа Ли, порожденная объединением этих действий, абстрактно изоморфна . Хотя вышеприведенное нестрогое определение включает гиперкэлеровы многообразия, будет следовать стандартное соглашение об их исключении, дополнительно требуя, чтобы скалярная кривизна была ненулевой — что автоматически выполняется, если группа голономии равна всей группе Sp(n)·Sp(1).

Ранняя история

В работе Марселя Бергера 1955 года о классификации римановых голономических групп впервые был поставлен вопрос о существовании несимметричных многообразий с голономией Sp(n)·Sp(1). Интересные результаты были доказаны в середине 1960-х годов в пионерских работах Эдмонда Бонана и Крэйнса, которые независимо друг от друга доказали, что любое такое многообразие допускает параллельную 4-форму. Долгожданный аналог сильной теоремы Лефшеца был опубликован в 1982 году:

В контексте классификации римановых голономий, предложенной Бергером, многообразия кватернионного Кэлера составляют единственный класс неприводимых, несимметричных многообразий специальной голономии, которые автоматически являются эйнштейновыми, но не автоматически риччиевыми. Если постоянная Эйнштейна простосвязного многообразия с голономией в равна нулю, где , то голономия фактически содержится в , и многообразие является гиперкэлеровым. Этот случай исключается из определения, определяя кватернионный Кэлер как не только содержащий голономическую группу в , но и обладающий ненулевой (постоянной) скалярной кривизной. С этой конвенцией кватернионные многообразия Кэлера можно естественным образом разделить на те, для которых кривизна Риччи положительна, и на те, для которых она отрицательна.