Кіріспе
Үй-бүлөлер бірлестіктері мен туыстық толықтырмалар математикада жиындардың сақинасы туралы екі түрлі түсінік бар, екеуі де жиындардың белгілі бір отбасыларына қатысты. Тәртіп теориясында бос емес жиынтықтар туысы, егер ол одақ пен қиылысу астында жабық болса, сақина (топтықтар) деп аталады. Яғни, келесі екі мәлімдеме барлық жиынтықтарға қатысты дұрыс және , білдіреді және білдіреді Өлшем теориясында бос емес жиынтықтар отбасы, егер ол одақ және салыстырмалы толықтыру (топтық теориялық айырмашылық) бойынша жабық болса, сақина (топтық) деп аталады. Сонымен қатар, барлық A және B жиындары үшін, бұл салыстырмалы толықтыру бойынша жабылған жиындар отбасы қиылысу бойынша да жабық екенін көрсетеді, сондықтан өлшем теориясы мағынасындағы сақина да теориялық мағынадағы сақина болып табылады.
In mathematics, there are two different notions of a ring of sets, both referring to certain families of sets. In order theory, a nonempty family of sets is called a ring (of sets) if it is closed under union and intersection. That is, the following two statements are true for all sets and ,
implies and
implies
In measure theory, a nonempty family of sets is called a ring (of sets) if it is closed under union and relative complement (set theoretic difference). That is, the following two statements are true for all sets and ,
implies and
implies
This implies that a ring in the measure theoretic sense always contains the empty set. Furthermore, for all sets A and B,
which shows that a family of sets closed under relative complement is also closed under intersection, so that a ring in the measure theoretic sense is also a ring in the order theoretic sense.
Мысалдар
Егер X кез келген жиын болса, онда X-тің қуаттар жиынтығы (X-тің барлық кіші жиынтықтарының отбасы) кез келген мағынада жиынтықтардың сақинасын құрайды. Егер (X, ≤) ішінара реттелген жиын болса, онда оның жоғарғы жиынтықтары (X-тің қосымша қасиеттері бар X-тің кіші жиынтықтары, егер x жоғарғы жиынтық U-ға тиесілі болса және x ≤ y болса, онда y де U-ға тиесілі болуы керек) қиылыстар мен одақтарда жабық болады. Алайда, жалпы алғанда, ол жиынтық айырмашылықтары бойынша жабылмайды. Кез келген топологиялық кеңістіктің ашық жиынтығы мен жабық жиынтығы одақтар мен қиылыстар астында жабық болады. "R" нақты сызығында бос жиынтықтан және a, b ∈ "R" формасындағы жартылай ашық аралықтардың барлық шекті одақтарынан тұратын жиынтықтар отбасы теориялық мәндегі шеңбер болып табылады. Егер T - кеңістікте анықталған кез келген түрлендіру болса, онда T арқылы өздеріне карталанған жиынтықтар одақтар мен қиылыстар астында жабылады. Егер жиындардың екі сақинасы бірдей элементтерде анықталса, онда екі сақинаға жататын жиындар да жиындардың сақинасын құрайды.