Введение
Семейство, закрытое под союзами и относительными дополнениями В математике существует два различных понятия кольца множеств, оба относящиеся к определенным семьям множеств. В теории порядка непустое семейство множеств называется кольцом (множеств), если оно закрыто при соединении и пересечении. То есть, следующие два утверждения верны для всех множеств и , подразумевает и подразумевает В теории меры, непустое семейство множеств называется кольцом (множеств), если оно закрыто в рамках союза и относительного дополнения (теоретическая разница множеств). То есть, следующие два утверждения верны для всех множеств и , подразумевает и подразумевает Это подразумевает, что кольцо в теоретическом смысле меры всегда содержит пустое множество. Кроме того, для всех множеств А и В, что показывает, что семейство множеств, закрытых в рамках относительного комплемента, также закрыто в рамках пересечения, так что кольцо в теоретическом смысле меры также является кольцом в теоретическом смысле порядка.
In mathematics, there are two different notions of a ring of sets, both referring to certain families of sets. In order theory, a nonempty family of sets is called a ring (of sets) if it is closed under union and intersection. That is, the following two statements are true for all sets and ,
implies and
implies
In measure theory, a nonempty family of sets is called a ring (of sets) if it is closed under union and relative complement (set theoretic difference). That is, the following two statements are true for all sets and ,
implies and
implies
This implies that a ring in the measure theoretic sense always contains the empty set. Furthermore, for all sets A and B,
which shows that a family of sets closed under relative complement is also closed under intersection, so that a ring in the measure theoretic sense is also a ring in the order theoretic sense.
Примеры
Если X - любое множество, то множество степеней X (семья всех подмножеств X) образует кольцо множеств в любом смысле. Если (X, ≤) является частично упорядоченным множеством, то его верхние множества (подмножества X с дополнительным свойством, что если x принадлежит верхнему множеству U и x ≤ y, то y также должен принадлежать U) закрыты как под пересечениями, так и под союзами. Однако, в целом, он не будет закрыт при различиях наборов. Открытые множества и закрытые множества любого топологического пространства закрыты как под союзами, так и под пересечениями. На реальной прямой "R" семейство множеств, состоящее из пустого множества и всех конечных соединений полуоткрытых интервалов формы , с a, b ∈ "R", является кольцом в теоретическом смысле меры. Если T - любое преобразование, определенное на пространстве, то множества, которые отображаются сами в себе T, закрыты как под союзами, так и под пересечениями. Если два кольца множеств определены на одних и тех же элементах, то множества, принадлежащие обоим кольцам, сами образуют кольцо множеств.