Кіріспе
Саяси ғылым теоремасы
Кондорсе қазылар алқасының теоремасы – белгілі бір топ адамдардың дұрыс шешімге келуінің салыстырмалы ықтималдығы туралы саяси ғылым теоремасы. Теорема алғаш рет 1785 жылы маркиз де Кондорсе өзінің «Анализдің көпшілік дауыс беру ықтималдығына қолданылуы туралы» еңбегінде жарияланған. Теореманың негізгі қағидасы – топтың көпшілік дауыс беру арқылы шешім қабылдау ниеті. Дауыс берудің екі мүмкін нәтижесінің бірі дұрыс, және әрбір дауыс берушінің дұрыс шешімді таңдау ықтималдығы p тәуелсіз. Теорема топқа қанша дауыс беруші қосу керектігін сұрайды. Нәтиже p-нің 1/2-ден үлкен немесе кішкентай болуына байланысты:
Егер p 1/2-ден үлкен болса (әрбір дауыс беруші дұрыс дауыс беруге бейім), онда дауыс берушілер санын арттыру көпшіліктің дұрыс шешім қабылдау ықтималдығын арттырады. Шексіздікке жақындағанда, көпшіліктің дұрыс дауыс беру ықтималдығы 1-ге жақындайды, дауыс берушілер саны арта келе. Ал егер p 1/2-ден кішкентай болса (әрбір дауыс беруші дұрыс емес дауыс беруге бейім), онда дауыс берушілер санын арттыру жағдайды нашарлатады: ең тиімді қазылар алқасы бір дауыс берушіден тұрады. Кондорседен бері көптеген зерттеушілер Кондорседің кейбір немесе барлық қағидаларын жеңілдетіп, түрлі қазылар алқасының теоремаларын дәлелдеді.
If p is greater than 1/2 (each voter is more likely to vote correctly), then adding more voters increases the probability that the majority decision is correct. In the limit, the probability that the majority votes correctly approaches 1 as the number of voters increases. On the other hand, if p is less than 1/2 (each voter is more likely to vote incorrectly), then adding more voters makes things worse: the optimal jury consists of a single voter. Since Condorcet, many other researchers have proved various other jury theorems, relaxing some or all of Condorcet's assumptions.
1- дәлел: Қосымша екі сайлаушының сайлау нәтижесін өзгерту ықтималдығын есептеу
Қалыптылық ережелерін қолдану қажеттілігін болдырмау үшін, n-ді тақ сан деп есептейміз. Негізінде, бір дауыс беруші қосылғандағы теңдіктерді бұзу арқылы тіпті n үшін де сол аргумент қолданылады. Енді n дауыс берушіден бастайық, және олардың m-і дұрыс дауыс берсін. Екі дауыс берушіні қосып, жалпы санды тақ етіп сақтайтын жағдайды қарастырайық. Көпшілік дауыс тек екі жағдайда ғана өзгереді: m, n дауыстың көпшілігін алу үшін бір дауыс жетпейді, бірақ екі жаңа дауыс беруші де дұрыс дауыс берді. Немесе m, n дауыстың көпшілігіне тең болды, бірақ екі жаңа дауыс беруші де дұрыс дауыс бермеді. Қалған жағдайларда, жаңа дауыстар бір-бірін жояды, айырмашылықты арттырады немесе жеткілікті өзгеріс жасамайды. Сондықтан, бізге тек бір дауыс (алғашқы n дауыс берушінің арасында) дұрыс көпшілікті дұрыс емес көпшіліктен ажыратқандағы жағдай ғана қызығушылық тудырады. Осы жағдайға назар аударсақ, алғашқы n-1 дауыс бір-бірін жойса, n-ші дауыс беруші шешуші дауыс береді деп елестете аламыз. Бұл жағдайда дұрыс көпшілікке ие болу ықтималдығы p-ге тең. Енді екі қосымша дауыс берушіні жібердік дейік. Олардың дұрыс емес көпшілікті дұрыс көпшілікке өзгерту ықтималдығы (1-p)p², ал дұрыс көпшілікті дұрыс емес көпшілікке өзгерту ықтималдығы p(1-p)². Бұл ықтималдықтардың біріншісі екіншісінен үлкен, тек қана p > 1/2 болғанда, теорема дәлелденеді.
m was one vote too small to get a majority of the n votes, but both new voters voted correctly. m was just equal to a majority of the n votes, but both new voters voted incorrectly. The rest of the time, either the new votes cancel out, only increase the gap, or don't make enough of a difference. So we only care what happens when a single vote (among the first n) separates a correct from an incorrect majority. Restricting our attention to this case, we can imagine that the first n 1 votes cancel out and that the deciding vote is cast by the n th voter. In this case the probability of getting a correct majority is just p. Now suppose we send in the two extra voters. The probability that they change an incorrect majority to a correct majority is (1 p)p2, while the probability that they change a correct majority to an incorrect majority is p(1 p)2. The first of these probabilities is greater than the second if and only if p > 1/2, proving the theorem.
2- дәлел: шешімнің дұрыс болуының ықтималдығын есептеу
Бұл дәлел тікелей, ол көпшіліктің ықтималдықтарын ғана қосып есептейді. Қосындының әрбір мүшесі көпшіліктің комбинациялары санын сол көпшіліктің ықтималдығымен көбейтеді. Әрбір көпшілік комбинация арқылы есептеледі, яғни n элементтен k-сы таңдалып алынады, мұнда n – қазылар алқасының саны, ал k – көпшіліктің саны. Ықтималдықтар 0-ден (= дауыс әрқашан бұрыс) 1-ге дейін (= әрқашан дұрыс) аралығында болады. Әр адам өз шешімін тәуелсіз қабылдайды, сондықтан олардың шешімдерінің ықтималдықтары көбейтіледі. Әрбір дұрыс шешімнің ықтималдығы p-ге тең. Бұрыс шешімнің ықтималдығы, q, p-ге кері, яғни 1 – p. Дереккөтеру белгісі, яғни x рет p-нің көбейтілуінің қысқаша жазылуы. Комитет немесе қазылар алқасының дәлдігін осы тәсілді компьютерлік кестелерде немесе бағдарламаларда қолдану арқылы оңай бағалауға болады. Мысалы, ең қарапайым жағдайды қарастырайық: n = 3, p = 0,8. 3 адамның 0,8-ден жоғары ықтималдықпен дұрыс болатынын көрсетуіміз керек. Шындығында:
Committee or jury accuracies can be easily estimated by using this approach in computer spreadsheets or programs. As an example, let us take the simplest case of n = 3, p = 0.8. We need to show that 3 people have higher than 0.8 chance of being right. Indeed:
0.8 × 0.8 × 0.8 + 0.8 × 0.8 × 0.2 + 0.8 × 0.2 × 0.8 + 0.2 × 0.8 × 0.8 = 0.896.
0,8 × 0,8 × 0,8 + 0,8 × 0,8 × 0,2 + 0,8 × 0,2 × 0,8 + 0,2 × 0,8 × 0,8 = 0,896.
Committee or jury accuracies can be easily estimated by using this approach in computer spreadsheets or programs. As an example, let us take the simplest case of n = 3, p = 0.8. We need to show that 3 people have higher than 0.8 chance of being right. Indeed:
0.8 × 0.8 × 0.8 + 0.8 × 0.8 × 0.2 + 0.8 × 0.2 × 0.8 + 0.2 × 0.8 × 0.8 = 0.896.
Теорема басқа пәндерде
Кондорце жюри теоремасы жақында бірнеше дәрігерлер (радиологтар, эндоскопистер және т.б.) дертің белсенділігін суреттер арқылы тәуелсіз бағалау үшін қолданылып келеді. Бұл міндет клиникалық сынақтар барысында жүзеге асырылатын орталық оқу кезінде туындайды және дауыс беру процесімен ұқсас. Авторлардың пікірінше, теореманы қолдану жеке оқырман берген бағаларды математикалық тұрғыдан негізді (ординалдық деректерді орташалаудан сақтау арқылы), одан әрі талдауға ыңғайлы, сондай-ақ қолдағы бағалау міндетіне сәйкес келетін (белгілі бір белгілердің болуы немесе болмауы туралы шешімдерге негізделген, субъективті жіктеу міндеті) түрінде соңғы бағаға айналдыруға мүмкіндік береді. Кондорце жюри теоремасы машиналық оқыту саласындағы жиынтық оқытуда да пайдаланылады. Жиынтық әдіс көптеген жеке жіктегіштердің болжамдарын көпшілік дауыс беру арқылы біріктіреді. Егер әрбір жеке жіктегіш 50%-дан сәл жоғары дәлдікпен болжаса және олардың болжамдары тәуелсіз болса, онда олардың болжамдарының жиынтығы олардың жеке болжамдық көрсеткіштерінен әлдеқайда жоғары болады.
The Condorcet jury theorem is also used in ensemble learning in the field of machine learning. An ensemble method combines the predictions of many individual classifiers by majority voting. Assuming that each of the individual classifiers predict with slightly greater than 50% accuracy and their predictions are independent, then the ensemble of their predictions will be far greater than their individual predictive scores.
Демократиялық процестерге қолдану
Көптеген саяси теоретиктер мен философтар демократияны қорғау үшін Кондорцет қазылар алқасының теоремасын (CJT) пайдаланады, Бреннанға және ондағы сілтемелерге қараңыз. Дегенмен, теореманың нақты өмірде қолданылуы – эмпирикалық сұрақ. CJT екі қырлы семсер екенін ескеріңіз: ол көпшілік дауыс берудің ақпаратты жинақтаудың (шамалы) жетілдірілген механизмі екенін дәлелдей алады, немесе (шамалы) апатқа ұшыратады, егер апат дұрыс емес нұсқаның жүйелі түрде таңдалуын білдірсе. Кейбір авторлар біз соңғы сценарийдеміз деп санайды. Мысалы, Брайан Каплан сайлаушылардың білімінің жүйелі түрде (мүмкін) бұрыс нұсқаларға қарай бұрылғандығын кеңінен дәлелдеген. ЖЖТ-ның қолданылуын зерттеу үшін жаңа тәсіл қолданылды. Біртекті жағдайды қарастырудың орнына, әрбір сайлаушыға басқа сайлаушылардан өзгеше болуы мүмкін, р ықтималдығы беріледі. Бұл жағдай бұрын Даниэль Беренд пен Джейкоб Парушпен зерттелген, және Кондорцеттің классикалық теоремасын (егер ) және басқа да нәтижелерді, мысалы, Агрегация кереметін (егер көптеген сайлаушылар үшін және олардың аз бөлігі үшін ) қамтиды. Содан кейін, Байес тәсілін қолдана отырып, теоремамен болжанған тезистің алдын ала ықтималдығы (осы жағдайда, априори) бағаланады. Яғни, егер біз сайлаушылардың кездейсоқ тізбегін (яғни, тізбек ) таңдасақ, CJT тезисі орындала ма? Жауап: Жоқ. Нақтырақ айтқанда, егер кездейсоқ тізбек компетенттілікті, немесе нашарлықты жақтамайтын бейтарап үлестіруден алынса, онда теоремамен болжанған тезис дерлік орындалмайды. Бұл жаңа тәсілмен CJT жақтастары төмен алдын ала ықтималдықты жеңу үшін, біліктіліктерін дәлелдейтін мықты дәлелдер ұсынуы керек. Яғни, тек қана нашарлыққа қарсы дәлелдер ғана бар (кейінгі ықтималдық) емес, сонымен қатар біз ешқандай дәлелдің болмауы жағдайында CJT-нің орындалуын күте алмаймыз (алдын ала ықтималдық).
Recently, another approach to study the applicability of the CJT was taken. Instead of considering the homogeneous case, each voter is allowed to have a probability , possibly different from other voters. This case was previously studied by Daniel Berend and Jacob Paroush and includes the classical theorem of Condorcet (when ) and other results, like the Miracle of Aggregation (when for most voters and for a small proportion of them). Then, following a Bayesian approach, the prior probability (in this case, a priori) of the thesis predicted by the theorem is estimated. That is, if we choose an arbitrary sequence of voters (i. e., a sequence ), will the thesis of the CJT hold? The answer is no. More precisely, if a random sequence of is taken following an unbiased distribution that does not favor competence, , or incompetence, , then the thesis predicted by the theorem will not hold almost surely. With this new approach, proponents of the CJT should present strong evidence of competence, to overcome the low prior probability. That is, it is not only the case that there is evidence against competence (posterior probability), but also that we cannot expect the CJT to hold in the absence of any evidence (prior probability).