Введение

Теорема в политологии

Теорема жюри Кондорсе – это теорема в политологии об относительной вероятности того, что данная группа людей примет верное решение. Теорема была впервые сформулирована маркизом де Кондорсе в его работе 1785 года «Опыт о применении анализа к вероятности решений, принимаемых большинством голосов». Основные предположения теоремы заключаются в том, что группа стремится принять решение голосованием большинства. Один из двух возможных исходов голосования является правильным, и каждый избиратель имеет независимую вероятность p отдать голос за правильное решение. Теорема ставит вопрос о том, сколько избирателей следует включить в группу. Ответ зависит от того, больше ли p, чем 1/2, или меньше:
Если p больше 1/2 (каждый избиратель с большей вероятностью проголосует правильно), то увеличение числа избирателей повышает вероятность того, что решение большинства будет верным. В пределе вероятность правильного голосования большинства стремится к 1 при увеличении числа избирателей. С другой стороны, если p меньше 1/2 (каждый избиратель с большей вероятностью проголосует неправильно), то увеличение числа избирателей ухудшает ситуацию: оптимальное жюри состоит из одного избирателя. После Кондорсе многие другие исследователи доказали различные теоремы жюри, ослабляя некоторые или все предположения Кондорсе.

Доказательство 1: Расчет вероятности того, что два дополнительных избирателя изменят результат

Чтобы избежать необходимости в правиле разрешения ничьей, мы предполагаем, что n нечётно. По сути, тот же аргумент работает и для чётного n, если ничьи разрешаются добавлением одного избирателя. Теперь предположим, что мы начинаем с n избирателей, и пусть m из них голосуют правильно. Рассмотрим, что происходит, когда мы добавляем ещё двух избирателей (чтобы общее число оставалось нечётным). Голосование большинства меняется только в двух случаях:

m было на один голос меньше большинства из n голосов, но оба новых избирателя проголосовали правильно. m было равно большинству из n голосов, но оба новых избирателя проголосовали неправильно. В остальных случаях новые голоса либо компенсируют друг друга, либо увеличивают разрыв, либо не оказывают существенного влияния. Таким образом, нас интересует только ситуация, когда один голос (из первых n) отделяет правильное большинство от неправильного. Ограничивая наше внимание этим случаем, мы можем представить, что первые n-1 голосов аннулируются, и решающий голос отдаёт n-й избиратель. В этом случае вероятность получения правильного большинства равна p. Теперь предположим, что мы добавляем двух дополнительных избирателей. Вероятность того, что они изменят неправильное большинство на правильное, равна (1-p)p², а вероятность того, что они изменят правильное большинство на неправильное, равна p(1-p)². Первая из этих вероятностей больше второй тогда и только тогда, когда p > 1/2, что и доказывает теорему.

Доказательство 2: Расчет вероятности правильного решения

Это доказательство прямое; оно просто суммирует вероятности большинства. Каждый член суммы умножает число комбинаций, формирующих большинство, на вероятность этого большинства. Каждое большинство подсчитывается с помощью комбинации, n элементов, взятых по k, где n – размер жюри, а k – размер большинства. Вероятности варьируются от 0 (голосование всегда неверно) до 1 (всегда верно). Каждый человек принимает решение независимо, поэтому вероятности их решений перемножаются. Вероятность каждого верного решения равна p. Вероятность неверного решения, q, является противоположностью p, то есть 1 − p. Запись в виде степени, то есть p^x, является сокращением для x умножений p.

Точность комитета или жюри можно легко оценить, используя этот подход в компьютерных таблицах или программах. В качестве примера рассмотрим простейший случай n = 3, p = 0.8. Нам нужно показать, что у 3 человек вероятность быть правыми выше 0.8. Действительно:

0.8 × 0.8 × 0.8 + 0.8 × 0.8 × 0.2 + 0.8 × 0.2 × 0.8 + 0.2 × 0.8 × 0.8 = 0.896.

Теорема в других дисциплинах

Теорема жюри Кондорсе в последнее время используется для концептуализации интеграции оценок при независимой оценке изображений на предмет активности заболевания несколькими врачами-специалистами (радиологами, эндоскопистами и т.д.). Эта задача возникает при централизованной оценке, проводимой в ходе клинических испытаний, и имеет сходство с голосованием. По мнению авторов, применение теоремы позволяет преобразовать индивидуальные оценки специалистов в итоговую оценку математически обоснованным способом (путем избежания усреднения порядковых данных), удобным для дальнейшего анализа и соответствующим специфике задачи оценки (основанной на решениях о наличии или отсутствии признаков, что является субъективной задачей классификации). Теорема жюри Кондорсе также применяется в ансамблевом обучении в области машинного обучения. Метод ансамбля объединяет прогнозы множества отдельных классификаторов посредством голосования большинства. Если предположить, что каждый из отдельных классификаторов предсказывает с точностью чуть выше 50%, и их прогнозы независимы, то точность ансамбля их прогнозов значительно превзойдет точность каждого отдельного классификатора.

Применимость к демократическим процессам

Многие политические теоретики и философы используют теорему жюри Кондорсе (CJT) для защиты демократии, см. Бреннан и ссылки в ней. Тем не менее, это эмпирический вопрос, выполняется ли теорема в реальной жизни или нет. Следует отметить, что CJT – это палка о двух концах: она может либо доказать, что правило большинства является (почти) идеальным механизмом для агрегирования информации, когда , либо (почти) идеальным провалом, когда. Провал означает, что неправильный вариант выбирается систематически. Некоторые авторы утверждают, что мы находимся во втором сценарии. Например, Брайан Каплан убедительно доказывает, что знания избирателей систематически смещены в сторону (вероятно) неверных вариантов. В рамках CJT это можно интерпретировать как свидетельство того, что недавно был предложен другой подход к изучению применимости CJT. Вместо рассмотрения однородного случая, каждому избирателю разрешается иметь вероятность , которая может отличаться от вероятностей других избирателей. Этот случай ранее изучался Дэниелом Берендом и Джейкобом Парушем и включает в себя классическую теорему Кондорсе (когда ) и другие результаты, такие как «Чудо агрегации» (когда для большинства избирателей и для небольшой доли из них). Затем, следуя байесовскому подходу, оценивается априорная вероятность тезиса, предсказанного теоремой. То есть, если мы выберем произвольную последовательность избирателей (т.е. последовательность ), будет ли выполняться тезис CJT? Ответ – нет. Более точно, если случайная последовательность берется из беспристрастного распределения, которое не благоприятствует компетентности, , или некомпетентности, , то тезис, предсказанный теоремой, почти наверняка не будет выполняться. С помощью этого нового подхода сторонникам CJT необходимо представить убедительные доказательства компетентности, чтобы преодолеть низкую априорную вероятность. То есть, дело не только в наличии свидетельств против компетентности (апостериорная вероятность), но и в том, что мы не можем ожидать выполнения CJT в отсутствие каких-либо доказательств (априорная вероятность).