Введение

Плоскостная кривая: коническое сечение — геометрическая кривая.

В математике гипербола (/h//aɪ/'/p//ɜr//b//ə//l//ə//audio=En гипербола (произносится). ogg/; мн. ч. гиперболы или гиперболы / //l//iː//audio=En hyperbole (произносится). ogg/; прил. гиперболический, /h//aɪ//p//ər/'/b//ɒ//l//ɪ//k//audio=En гиперболический (произносится). ogg/) — это тип гладкой кривой, лежащей в плоскости, определяемый своими геометрическими свойствами или уравнениями, для которых она является множеством решений. Гипербола состоит из двух частей, называемых связными компонентами или ветвями, которые являются зеркальным отражением друг друга и напоминают две бесконечные дуги. Гипербола — один из трех видов конических сечений, образуемый при пересечении плоскости и двойного конуса. (Другими коническими сечениями являются парабола и эллипс. Окружность — частный случай эллипса.) Если плоскость пересекает обе половины двойного конуса, но не проходит через вершину конуса, то коническое сечение является гиперболой. Помимо того, что гипербола является коническим сечением, она может возникать как геометрическое место точек, для которых разность расстояний до двух фиксированных фокусов постоянна, как кривая, для каждой точки которой лучи к двум фиксированным фокусам являются отражениями относительно касательной в этой точке, или как решение определенных двумерных квадратных уравнений, таких как обратная зависимость. В практических приложениях гипербола может возникать как траектория тени от кончика гномона солнечных часов, форма открытой орбиты, например, небесного тела, превышающего скорость убегания от ближайшего гравитационного тела, или траектория рассеяния субатомной частицы и т.д. Каждая ветвь гиперболы имеет два плеча, которые становятся более прямыми (с меньшей кривизной) по мере удаления от центра гиперболы. Диагонально противоположные плечи, по одному от каждой ветви, стремятся к общей прямой, называемой асимптотой этих двух плеч. Таким образом, существует две асимптоты, пересечение которых находится в центре симметрии гиперболы, который можно рассматривать как зеркальную точку, относительно которой каждая ветвь отражается, образуя другую ветвь. В случае кривой асимптоты совпадают с двумя координатными осями. Гиперболы разделяют многие аналитические свойства эллипсов, такие как эксцентриситет, фокус и директриса. Обычно соответствие можно установить простой сменой знака в каком-либо члене уравнения. Многие другие математические объекты имеют своим происхождением гиперболу, такие как гиперболические параболоиды (седловые поверхности), гиперболоиды («мусорные корзины»), гиперболическая геометрия (знаменитая неевклидова геометрия Лобачевского), гиперболические функции (sinh, cosh, tanh и т.д.) и гировекторные пространства (геометрия, предложенная для использования как в теории относительности, так и в квантовой механике, которая не является евклидовой).

Этимология и история

Слово "гипербола" происходит от греческого ὑπερβολή, означающего "превышающий" или "избыточный", от которого также происходит английский термин "hyperbole". Гиперболы были изучены Менахмом в ходе его исследований задачи удвоения куба, но тогда их называли сечениями тупых конусов. Считается, что термин "гипербола" был введен Аполлонием Пергским (ок. 262 – ок. 190 гг. до н.э.) в его основополагающей работе о конических сечениях, "Коники". Названия двух других основных конических сечений, эллипса и параболы, происходят от соответствующих греческих слов, означающих "недостаточный" и "приложенный"; все три названия заимствованы из более ранней пифагорейской терминологии, которая относилась к сравнению сторон прямоугольников с фиксированной площадью с заданной линией. Прямоугольник мог быть "приложен" к отрезку (то есть иметь равную длину), быть короче отрезка или превышать отрезок.

Создание директриксы

Из-за расположения точки директрисы и фокуса (см. диаграмму) они обратны друг другу относительно круговой инверсии в данной окружности (на диаграмме – зеленая). Следовательно, точку можно построить, используя теорему Фалеса (не показана на диаграмме). Директриса является перпендикуляром к прямой, проходящим через точку . Альтернативное построение точки : Расчет показывает, что точка является точкой пересечения асимптоты с перпендикуляром к ней, проходящим через (см. диаграмму).

В качестве плоского сечения конуса

Пересечение вертикального двойного конуса плоскостью, не проходящей через вершину, с наклоном, превышающим наклон образующих конуса, является гиперболой (см. диаграмму: красная кривая). Для доказательства определяющего свойства гиперболы (см. выше) используются две сферы Данделина, которые касаются конуса по окружностям, и пересекающейся (гиперболы) плоскости в точках. Оказывается, эти точки являются фокусами гиперболы. Пусть P – произвольная точка кривой пересечения. Образующая конуса, содержащая P, пересекает окружность в точке A, а окружность – в точке B. Отрезки PA и PB касательны к сфере Данделина 1 и, следовательно, имеют одинаковую длину. Отрезки PA и PB касательны к сфере Данделина 2 и, следовательно, имеют одинаковую длину. Отсюда следует, что длина PA не зависит от положения точки P на гиперболе, поскольку независимо от положения точки P, точки A и B должны лежать на окружностях, а отрезок PB должен проходить через вершину конуса. Поэтому, когда точка P движется по красной кривой (гиперболе), отрезок PA просто вращается вокруг вершины, не меняя своей длины.

Параметрическое представление

Аффинное преобразование евклидовой плоскости имеет вид , где – невырожденная матрица (её определитель не равен 0) и – произвольный вектор. Если – векторы-столбцы матрицы , то единичная гипербола отображается на гиперболу, для которой является центром, – точкой на гиперболе, а – касательным вектором в этой точке.

Гипербола в космосе

Определение гиперболы в этом разделе дает параметрическое представление произвольной гиперболы, даже в пространстве, если допустить, чтобы были векторами в пространстве.

Взаимное обращение круга

Взаимное преобразование круга B относительно круга C всегда дает коническое сечение, такое как гипербола. Процесс "взаимного преобразования относительно круга C" заключается в замене каждой прямой и точки в геометрической фигуре их соответствующим полюсом и полярной прямой, соответственно. Полюс прямой – это инверсия ее ближайшей точки к кругу C, в то время как полярная прямая точки – обратное преобразование, то есть прямая, ближайшая точка которой к C является инверсией данной точки. Эксцентриситет конического сечения, полученного в результате взаимного преобразования, представляет собой отношение расстояния между центрами двух кругов к радиусу r круга C, относительно которого выполняется преобразование. Если B и C обозначают центры соответствующих кругов, то, поскольку эксцентриситет гиперболы всегда больше единицы, центр B должен находиться вне круга C. Это определение подразумевает, что гипербола является геометрическим местом полюсов касательных к кругу B, а также огибающей полярных прямых точек на B. Обратно, круг B является огибающей полярных прямых точек на гиперболе и геометрическим местом полюсов касательных к гиперболе. Две касательные к B не имеют (конечных) полюсов, поскольку они проходят через центр C круга взаимного преобразования C; полярные прямые соответствующих точек касания на B являются асимптотами гиперболы. Две ветви гиперболы соответствуют двум частям круга B, разделенным этими точками касания.

Прямоугольная гипербола

В этом случае гиперболу называют прямоугольной (или равносторонней), поскольку её асимптоты пересекаются под прямым углом. Для этого случая линейная эксцентричность равна , эксцентриситет равен , а полупараметр прямой кишки равен . График уравнения является прямоугольной гиперболой.

Ортогонные тангенсы ортоптические

Для гиперболы точки пересечения ортогональных касательных лежат на окружности. Эта окружность называется ортоптикой данной гиперболы. Касательные могут принадлежать точкам на разных ветвях гиперболы. В случае, когда нет пар ортогональных касательных.

Другие свойства

Следующие пересекаются в одной точке: (1) окружность, проходящая через фокусы гиперболы и с центром в центре гиперболы; (2) любая из касательных к гиперболе в вершинах; и (3) любая из асимптот гиперболы. Также пересекаются в одной точке следующие: (1) окружность с центром в центре гиперболы, проходящая через вершины гиперболы; (2) любая директриса; и (3) любая из асимптот. где — неполный эллиптический интеграл первого рода с параметром , а — функция Гудермана.

Выведенные кривые

Из гиперболы можно получить несколько других кривых посредством инверсии, так называемые обратные кривые гиперболы. Если центр инверсии совпадает с центром гиперболы, то обратная кривая представляет собой лемнискату Бернулли; лемниската также является огибающей окружностей, центры которых лежат на прямоугольной гиперболе и проходящих через начало координат. Если центр инверсии выбран в фокусе или вершине гиперболы, то в результате получаются, соответственно, лимакон или страфоида.

Эллиптические координаты

Семейство конфокальных гипербол является основой системы эллиптических координат в двух измерениях. Эти гиперболы описываются уравнением, где фокусы расположены на расстоянии c от начала координат на оси x, а θ – угол, который асимптоты образуют с осью x. Каждая гипербола из этого семейства ортогональна любому эллипсу с теми же фокусами. Эту ортогональность можно продемонстрировать с помощью конформного отображения декартовой системы координат w = z + 1/z, где z = x + iy – исходные декартовы координаты, а w = u + iv – координаты после преобразования. Другие ортогональные двумерные системы координат, включающие гиперболы, могут быть получены с помощью других конформных отображений. Например, отображение w = z² преобразует декартову систему координат в две семьи ортогональных гипербол.

Солнечные очки

Гиперболы можно увидеть во многих солнечных часах. В любой день солнце описывает окружность на небесной сфере, и его лучи, попадая в точку на солнечных часах, образуют конус света. Пересечение этого конуса с горизонтальной плоскостью земли формирует коническое сечение. На большинстве населенных широт и в течение большей части года это коническое сечение представляет собой гиперболу. Практически, тень от верхушки гномона в течение дня очерчивает на земле гиперболу (этот путь называется линией склонения). Форма этой гиперболы меняется в зависимости от географической широты и времени года, поскольку эти факторы влияют на угол конуса солнечных лучей относительно горизонта. Совокупность таких гипербол, полученных в течение года в определенном месте, греки называли пелекиноном, так как она напоминает двулезвийный топор.

Многосторонность

Гипербола лежит в основе решения задач многосторонней локации — определения местоположения точки по разности расстояний до заданных точек, или, что эквивалентно, по разности времени прибытия синхронизированных сигналов между точкой и этими заданными точками. Такие задачи важны в навигации, особенно в морской; судно может определить свое местоположение по разнице во времени прибытия сигналов от передатчиков LORAN или GPS. Обратно, местоположение навигационного маяка или любого передатчика можно определить, сравнивая время прибытия его сигналов на двух отдельных приемных станциях; эти методы могут использоваться для отслеживания объектов и людей. В частности, множество всех возможных положений точки, для которой разность расстояний до двух заданных точек равна 2a, представляет собой гиперболу, расстояние между вершинами которой равно 2a, а заданные точки являются ее фокусами.

Путь, которым следует частица

Путь, по которому движется любая частица в классической задаче Кеплера, является коническим сечением. В частности, если полная энергия E частицы больше нуля (то есть, частица несвязана), траектория такой частицы представляет собой гиперболу. Это свойство полезно при изучении атомных и субатомных сил посредством рассеяния высокоэнергетических частиц; например, эксперимент Резерфорда продемонстрировал существование атомного ядра, исследуя рассеяние альфа-частиц на атомах золота. Если пренебречь ядерными взаимодействиями малого радиуса действия, атомное ядро и альфа-частица взаимодействуют только отталкивающей силой Кулона, которая удовлетворяет требованию закона обратных квадратов для задачи Кеплера.

Уравнение Кортевегенда Вриса

Гиперболическая тригонометрическая функция является одним из решений уравнения Кортевега — де Вриса, описывающего движение солитонной волны в канале.

Угловое тресекция

Как показал впервые Аполлоний Пергский, гипербола может быть использована для трисекции любого угла – хорошо изученной задачи геометрии. Для заданного угла сначала постройте окружность с центром в его вершине O, пересекающую стороны угла в точках A и B. Затем постройте отрезок AB и его перпендикулярный биссектор. Постройте гиперболу с эксцентриситетом e=2, используя отрезок AB в качестве директрисы и точку B в качестве фокуса. Пусть P – верхняя точка пересечения гиперболы с окружностью. Угол POB трисектирует угол AOB. Для доказательства отразите отрезок OP относительно прямой AB, получив точку P' как образ точки P. Отрезок AP' равен отрезку BP из-за отражения, а отрезок PP' равен отрезку BP благодаря эксцентриситету гиперболы. Поскольку OA, OP', OP и OB – радиусы одной и той же окружности (и, следовательно, имеют одинаковую длину), треугольники OAP', OPP' и OPB конгруэнтны. Следовательно, угол был трисектирован, так как 3 × ∠POB = ∠AOB.

Эффективная граница портфеля

В теории портфеля, множество средне-дисперсионно эффективных портфелей (называемое эффективной границей) представляет собой верхнюю половину ветви гиперболы, раскрывающейся вправо, построенной с использованием стандартного отклонения доходности портфеля по горизонтальной оси и его ожидаемой доходности по вертикальной оси; согласно этой теории, все рациональные инвесторы выберут портфель, характеризующийся некоторой точкой на этом множестве.

Биохимия

В биохимии и фармакологии уравнение Хилла и уравнение Хилла-Лангмура соответственно описывают биологические ответы и образование комплексов белок-лиганд как функции концентрации лиганда. Обе эти зависимости представляют собой прямоугольные гиперболы.