Кватерниондық проективтік кеңістік: математикадағы нақты және кешенді кеңістіктердің кеңейтілген түрі. 4n өлшемді, теңбілгіш кеңістік. Қуатерниондар негізінде.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикадағы ұғым. Математикада кватерниондық проективті кеңістік – нақты проективті кеңістік және кешенді проективті кеңістік идеяларының координаталары кватерниондар сақинасында жатқан жағдайда кеңейтілген түрі. n өлшемді кватерниондық проективті кеңістік әдетте былай белгіленеді:
Concept in mathematics
In mathematics, quaternionic projective space is an extension of the ideas of real projective space and complex projective space, to the case where coordinates lie in the ring of quaternions Quaternionic projective space of dimension n is usually denoted by
және (нақты) 4n өлшемді жабық манифольд болып табылады. Бұл Lie тобының әрекеті үшін бірнеше түрлі жолмен біртекті кеңістік. Кватерниондық проективті сызық 4-сфераға гомеоморфты.
and is a closed manifold of (real) dimension 4n. It is a homogeneous space for a Lie group action, in more than one way. The quaternionic projective line is homeomorphic to the 4 sphere.
Координаттар бойынша
Оның тікелей құрылысы бөліну алгебрасы үстіндегі проективті кеңістіктің ерекше жағдайы ретінде қарастырылады. Нүктенің біртекті координаттарын былай жазуға болады:
Its direct construction is as a special case of the projective space over a division algebra. The homogeneous coordinates of a point can be written
мұндағы – квартерниондар, олардың бәрі де нөл емес. Егер екі координат жиынтығы нөлдік емес c квартернионымен сол жақтан көбейтілгенде пропорционал болса, онда олар бірдей нүктені көрсетеді; яғни, біз барлық
where the are quaternions, not all zero. Two sets of coordinates represent the same point if they are 'proportional' by a left multiplication by a non zero quaternion c; that is, we identify all the
топтық әрекеттер тілінде қарастырғанда, – нөлдік емес квартерниондардың көбейту тобының әрекеті арқылы алынған орбиталық кеңістік болып табылады. Бірінші кезде, бірлік шеңберге проекция жасау арқылы, – бірлік квартерниондар тобының әрекеті арқылы алынған орбиталық кеңістік ретінде де қарастырылуы мүмкін. Онда сфера негізгі Sp(1) бундельіне айналады:
In the language of group actions, is the orbit space of by the action of , the multiplicative group of non zero quaternions. By first projecting onto the unit sphere inside one may also regard as the orbit space of by the action of , the group of unit quaternions. The sphere then becomes a principal Sp(1) bundle over :
Бұл бундель кейде (жалпыланған) Хопф фибрациясы деп аталады. Сондай-ақ, – екі өлшемді кешенді кіші кеңістіктер арқылы құрылуы мүмкін, яғни кешенді Грассман кеңістігінің ішінде орналасқан.
This bundle is sometimes called a (generalized) Hopf fibration. There is also a construction of by means of two dimensional complex subspaces of , meaning that lies inside a complex Grassmannian.
Гомотопия теориясы
Кеңістік, барлық шектің біріктірілуі ретінде анықталған, BS3 жіктеу кеңістігі болып табылады. -ның гомотопиялық топтары келесідей берілген: . Бұл топтар өте күрделі екені белгілі және олардың саны шексіз көп мәндерде нөлдік емес. Дегенмен, бізде бар.
The space , defined as the union of all finite 's under inclusion, is the classifying space BS3. The homotopy groups of are given by These groups are known to be very complex and in particular they are non zero for infinitely many values of However, we do have that
Осыдан келіп, рационалды түрде, яғни кеңістікті локализациядан кейін, - Eilenberg–Maclane кеңістігі болып табылады. Яғни, (мысалы, K(Z,2) мысалынан қараңыз). Рационалды гомотопия теориясын қараңыз. Жалпы, -ның жасуша құрылымы әр өлшемде бір жасушадан тұрады, бұл 4-тің еселігі, сәйкесінше, оның когомология сақинасы , мұнда - 4-өлшемді генератор болып табылады. Бұл күрделі проективті кеңістікке ұқсас. Сондай-ақ, рационалды гомотопия теориясынан -ның гомотопиялық топтары тек 4 және 5 өлшемдерде шексіз екені көрінеді.
It follows that rationally, i. e. after localisation of a space, is an Eilenberg–Maclane space That is (cf. the example K(Z,2)). See rational homotopy theory. In general, has a cell structure with one cell in each dimension which is a multiple of 4, up to Accordingly, its cohomology ring is , where is a 4 dimensional generator. This is analogous to complex projective space. It also follows from rational homotopy theory that has infinite homotopy groups only in dimensions 4 and .
Қасиетті кластар
Оның тангенциалдық шоғыры тұрақты түрде тривиальды. Қалғандарының тангенциалдық бундельдері тривиалды емес Штифель-Уитни және Понтрягин кластарына ие. Толық кластар келесі формулалармен беріледі: мұндағы –тің генераторы және –тің 2-ге дейін қысқартылуы.
Since , its tangent bundle is stably trivial. The tangent bundles of the rest have nontrivial Stiefel–Whitney and Pontryagin classes. The total classes are given by the following formulas:
where is the generator of and is its reduction mod 2.
Кватерниондық проекциялық сызық
Бір өлшемді проекциялық кеңістік, күрделі проекциялық түзудің жалпыламасы ретінде "проекциялық түзу" деп аталады. Мысалы, 1947 жылы П. Г. Гормли оны Мёбиус тобын сызықтық бөлшектей трансформациялар арқылы кватерниондық контекстке кеңейту үшін (жасырын түрде) қолданған. 1-ге ие ассоциативтік сақинаның сызықтық бөлшектей трансформациялары үшін, сақина үстіндегі проекциялық түзу және гомография тобы GL(2,A) қараңыз. Топологиялық тұрғыдан алғанда, кватерниондық проекциялық түзу 4 сфера болып табылады, және олар диффеоморфты манифольдтар болып табылады. Бұрын айтылған фибрация 7 сферадан шығады және Хопф фибрациясының мысалы болып табылады. 4 сфераның координаттарына қатысты нақты өрнектерді Фубини-Стади метрикасы туралы мақалада табуға болады.
The one dimensional projective space over is called the "projective line" in generalization of the complex projective line. For example, it was used (implicitly) in 1947 by P. G. Gormley to extend the Möbius group to the quaternion context with linear fractional transformations. For the linear fractional transformations of an associative ring with 1, see projective line over a ring and the homography group GL(2,A). From the topological point of view the quaternionic projective line is the 4 sphere, and in fact these are diffeomorphic manifolds. The fibration mentioned previously is from the 7 sphere, and is an example of a Hopf fibration. Explicit expressions for coordinates for the 4 sphere can be found in the article on the Fubini–Study metric.
Кватерниондық проекциялық жазықтық
8 өлшемді кеңістікте шеңберлік әрекет бар, абсолюттік шамасы 1-ге тең кешенді скалярлар тобының әрекеті арқылы (яғни оң жағынан, жоғарыдағы c әрекеті үшін қабылданған конвенция сол жақта). Сондықтан, шеңбер тобы үшін U(1) деп белгілеп, бөлулі жиынтық құруға болады. Бұл бөлулі жиынтық 7 сфераға тең екені көрсетілді, бұл нәтиже Владимир Арнольдтың 1996 жылғы жұмысы, кейіннен Эдвард Виттен және Майкл Атия қайта ашты.
The 8 dimensional has a circle action, by the group of complex scalars of absolute value 1 acting on the other side (so on the right, as the convention for the action of c above is on the left). Therefore, the quotient manifold
may be taken, writing U(1) for the circle group. It has been shown that this quotient is the 7 sphere, a result of Vladimir Arnold from 1996, later rediscovered by Edward Witten and Michael Atiyah.