Введение

Концепция в математике
В математике кватернионное проективное пространство является расширением идей реального проективного пространства и комплексного проективного пространства на случай, когда координаты лежат в кольце кватернионов. Кватернионное проективное пространство размерности n обычно обозначается

и является замкнутым многообразием (действительной) размерности 4n. Оно является однородным пространством для действия группы Ли, причем более чем одним способом. Кватернионная проективная прямая гомеоморфна 4-сфере.

В координатах

Его прямое построение является частным случаем проективного пространства над алгеброй с делением. Гомогенные координаты точки могут быть записаны как

где – кватернионы, не все равные нулю. Два набора координат представляют одну и ту же точку, если они "пропорциональны" – то есть, связаны левым умножением на ненулевой кватернион c; другими словами, мы отождествляем все .

В терминах действий группы, является орбитальным пространством по действию , мультипликативной группы ненулевых кватернионов. Проецируя сначала на единичную сферу внутри , можно также рассматривать как орбитальное пространство по действию , группы единичных кватернионов. Тогда сфера становится главным расслоением Sp(1) над :

Это расслоение иногда называют (обобщённой) фибрацией Хопфа. Существует также построение посредством двухмерных комплексных подпространств , что означает, что лежит внутри комплексного грассманиана.

Теория гомотопии

Пространство, определяемое как объединение всех конечных подпространств по включению, является классифицирующим пространством BS3. Группы гомотопии задаются группами, которые, как известно, очень сложны и, в частности, ненулевые для бесконечного числа значений. Однако, мы имеем, что из этого следует, что рационально, то есть после локализации пространства, оно является пространством Эйленберга — Маклейна. Это означает (см. пример K(Z,2)). См. теорию рациональной гомотопии. В общем случае, оно имеет клеточную структуру с одной ячейкой в каждом измерении, кратным 4, вплоть до. Соответственно, его кольцо когомологий равно , где является 4-мерным образующим. Это аналогично комплексному проективному пространству. Также из теории рациональной гомотопии следует, что оно имеет бесконечные группы гомотопии только в измерениях 4 и .

Класса характеристик

Так как его тангенциальный расслоение стабильно тривиально. Тангенциальные расслоения остальных имеют нетривиальные классы Штифеля — Уитни и Понтрягина. Полные классы задаются следующими формулами:

где — генератор и — его редукция по модулю 2.

Кватернионная проективная линия

Одномерное проективное пространство над ℚ называется "проективной линией" в обобщении комплексной проективной линии. Например, оно было использовано (неявно) в 1947 году П. Г. Гормли для расширения группы Мёбиуса к кватернионному контексту с помощью линейных дробных преобразований. Для линейных дробных преобразований ассоциативного кольца с единицей, см. проективную линию над кольцом и гомографическую группу GL(2,A). С топологической точки зрения кватернионная проективная линия является 4-сферой, и фактически это диффеоморфные многообразия. Фибрация, упомянутая ранее, исходит из 7-сферы и является примером фибрации Хопфа. Явные выражения координат для 4-сферы можно найти в статье о метрике Фубини — Стьюди.

Кватернионная проективная плоскость

8-мерное пространство обладает круговым действием, группой комплексных скаляров с абсолютной величиной 1, действующих с другой стороны (то есть справа, поскольку условность для действия c, указанная выше, – слева). Следовательно, можно рассмотреть фактор-многообразие, обозначая окружность U(1). Было показано, что это фактор-многообразие является 7-мерной сферой, результат, полученный Владимиром Арнольдом в 1996 году, и позднее заново открытый Эдвардом Виттеном и Майклом Атия.