Triangular prism

Кіріспе

Үш жақты негізді призма оптикалық призма Геометрияда үшбұрышты призма немесе үшбұрышты призма - 2 үшбұрышты негізді призма. Егер шеттері үшбұрыштың ұшымен жұптасып, негізге перпендикуляр болса, онда бұл тік бұрышты үшбұрышты призма. Тік үшбұрышты призма жартылай тұрақты және біркелкі болуы мүмкін. Үшбұрышты призманы басқа көпбұрышты құруда қолдануға болады. Мысалы, Джонсонның кейбір қатты денелері, қысқартылған тура үшбұрышты призма және Шонхардт көпбұрышы.

Қасиеттері

Үшбұрышты призманың 6 ұшы, 9 жиегі және 5 беттері бар. Әрбір призманың 2 біркелкі беттері бар, олар негіздер деп аталады, ал үшбұрышты призманың негіздері үшбұрыштар. Үшбұрыштың 3 ұшы бар, олардың әрқайсысы басқа үшбұрыштың ұшымен жұптасып, тағы 3 жиекті құрайды. Бұл жиектер басқа бет сияқты 3 параллелограммды құрайды. Егер призманың шеттері негізге перпендикуляр болса, бүйір беттері тікбұрыштар болып табылады, ал призма тікбұрышты үшбұрышты призма деп аталады. Бұл призманы сондай-ақ клиннің ерекше жағдайы деп қарастыруға болады. Егер негіз тең жақты және жақтық беттері төрт бұрышты болса, онда оң үшбұрышты призма жартылай тұрақты болады. Жартылай тұрақты призма оның көпбұрышты негізінің жиектерінің саны оның шаршы беттерінің санына тең дегенді білдіреді. Жалпы, үшбұрышты призма біркелкі. Бұл үшбұрышты призманың тұрақты беттері бар және ұштары теңбұрышты симметрияға ие екенін білдіреді. Тік үшбұрышты призманың үш өлшемді симметрия тобы 12-ші реттік 1=D3h диэдрлік топ болып табылады: егер үшбұрышты призманы оның орталығының негізі арқылы өтетін және көлденең жазықтықтағы симетрия осьінің айналасына толық бұрыштың бір және екі үштен бір бөлігін айналдырса, сыртқы түрі өзгермейді. Үшбұрышты призманың қос көпбұрышы үшбұрышты бипирамида болып табылады. Үшбұрышты бипирамида үшбұрышты призмамен бірдей симметрияға ие. Екі іргелес квадрат бетінің арасындағы диэдр бұрышы теңбұрышты үшбұрыштың ішкі бұрышы , ал квадрат пен үшбұрыштың арасындағы бұрышы кез келген призманың көлемі - бұл негіздің ауданы мен екі негіз арасындағы қашықтық көбейтіндісі . Үшбұрышты призма жағдайында оның негізі үшбұрышты құрайды, сондықтан оның көлемін үшбұрыштың ауданы мен призманың ұзындығын көбейту арқылы есептеуге болады: мұнда b - үшбұрыштың бір жағының ұзындығы, h - сол жағына тартылған биіктіктің ұзындығы, ал l - үшбұрышты беттердің арасындағы қашықтық. Тік бұрышты үшбұрышты призма жағдайында, оның барлық жиектері 1=l ұзындығында тең болса, оның көлемін теңбұрышты үшбұрыштың ауданы мен ұзындығы 1=l көбейтіндісі ретінде есептеуге болады: Үшбұрышты призма призма графигі ретінде бейнеленуі мүмкін. Жалпы алғанда, призма графигі бүйірлі призманы білдіреді.

A triangular prism has 6 vertices, 9 edges, and 5 faces. Every prism has 2 congruent faces known as its bases, and the bases of a triangular prism are triangles. The triangle has 3 vertices, each of which pairs with another triangle's vertex, making up another 3 edges. These edges form 3 parallelograms as other faces. If the prism's edges are perpendicular to the base, the lateral faces are rectangles, and the prism is called a right triangular prism. This prism may also be considered a special case of a wedge. If the base is equilateral and the lateral faces are square, then the right triangular prism is semiregular. A semiregular prism means that the number of its polygonal base's edges equals the number of its square faces. More generally, the triangular prism is uniform. This means that a triangular prism has regular faces and has an isogonal symmetry on vertices. The three dimensional symmetry group of a right triangular prism is dihedral group 1=D3h of order 12: the appearance is unchanged if the triangular prism is rotated one and two thirds of a full angle around its axis of symmetry passing through the center's base, and reflecting across a horizontal plane. The dual polyhedron of a triangular prism is a triangular bipyramid. The triangular bipyramid has the same symmetry as the triangular prism. The dihedral angle between two adjacent square faces is the internal angle of an equilateral triangle , and that between a square and a triangle is
The volume of any prism is the product of the area of the base and the distance between the two bases. In the case of a triangular prism, its base is a triangle, so its volume can be calculated by multiplying the area of a triangle and the length of the prism:

where b is the length of one side of the triangle, h is the length of an altitude drawn to that side, and l is the distance between the triangular faces. In the case of a right triangular prism, where all its edges are equal in length 1=l, its volume can be calculated as the product of the equilateral triangle's area and length 1=l:

The triangular prism can be represented as the prism graph More generally, the prism graph represents the sided prism.

Көпбұрышты конструкцияларда

Үшбұрышты бипирамидадан басқа, оның қос көпбұрышты, көптеген басқа көпбұрыштар үшбұрышты призмамен байланысты. Джонсон қатты дене - тұрақты беттері бар құрғақ көпбұрышты көпбұрышты, ал бұл анықтама кейде Архимед қатты денелері, Каталон қатты денелері, призмалар мен антипризмалар сияқты біркелкі көпбұрыштарда алынып тасталады. Үшбұрышты призманы қамтитын 6 Джонсон қатты денелері бар: ұзын үшбұрышты пирамида, ұзын үшбұрышты бипирамида, гиробифастигиум, кеңейтілген үшбұрышты призма, екіге көбейтілген үшбұрышты призма және үшке көбейтілген үшбұрышты призма. Ұзын үшбұрышты пирамида мен айналып өтетін үшбұрышты пирамида үшбұрышты призманың негізіне тетраэдрді бекіту арқылы жасалады. Көбейтілген үшбұрышты призма, екі есе көбейтілген үшбұрышты призма және үш есе көбейтілген үшбұрышты призма призманың төрт бұрышты бетінде тең жақты төрт бұрышты пирамидаларды бекіту арқылы жасалады. Гиробифастигиум екі үшбұрышты призманы оның бір шаршы бетінде бекіту арқылы жасалады. Қисық үшбұрышты призма - үшбұрышты призма, оның бөлігін көлбеу бұрышпен қиып құралған. Нәтижесінде екі негіз қатар емес және әрбір биіктіктің әртүрлі жиегі болады. Егер негіздерді жалғаушы жиектер оның бір негіздеріне перпендикуляр болса, призманы қысқартылған тура үшбұрышты призма деп атайды. 1=A үшбұрышты призманың негізі ауданы, ал үш биіктігі 1=h1, 1=h2 және 1=h3 болғандықтан, оның көлемін келесі формуламен анықтауға болады: Шонхардт полиэдрі - тең жақты үшбұрышты негіздері бар үшбұрышты призмадан жасалған тағы бір полиэдр. Осылайша, оның бір негізі призманың орта сызығы бойынша айналып, төрт бұрышты бетін қисық көпбұрышқа бөледі. Әрбір шаршы бет екі үшбұрышты қайта қисаю арқылы құрғақ емес диэдр бұрышын құрайды. Нәтижесінде Шонхардт көпбұрышы тетраэдрлерге бөліну арқылы үшбұрышты бола алмайды. Сонымен қатар, Шонхардт көпбұрышының ішкі диагональдары жоқ. Ол 1928 жылы сипаттаған неміс математигі Эрих Шонхардт есімімен аталған, бірақ байланысты құрылысты суретші Карлис Йохансонс 1= 1921 жылы көрсеткен. Үшбұрышты призмалардың 4 біркелкі құрамы бар. Олар төрт үшбұрышты призмадан құралған, сегіз үшбұрышты призмадан құралған, он үшбұрышты призмадан құралған, жиырма үшбұрышты призмадан құралған.

Beyond the triangular bipyramid as its dual polyhedron, many other polyhedrons are related to the triangular prism. A Johnson solid is a convex polyhedron with regular faces, and this definition is sometimes omitted uniform polyhedrons such as Archimedean solids, Catalan solids, prisms and antiprisms. There are 6 Johnson solids with their construction involving the triangular prism: elongated triangular pyramid, elongated triangular bipyramid, gyrobifastigium, augmented triangular prism, biaugmented triangular prism, and triaugmented triangular prism. The elongated triangular pyramid and the gyroelongated triangular pyramid are constructed by attaching tetrahedron onto the base of a triangular prism. The augmented triangular prism, biaugmented triangular prism, and triaugmented triangular prism are constructed by attaching equilateral square pyramids onto the square face of the prism. The gyrobifastigium is constructed by attaching two triangular prisms along one of its square faces. A truncated triangular prism is a triangular prism constructed by truncating its part at an oblique angle. As a result, the two bases are not parallel and every height has a different edge length. If the edges connecting bases are perpendicular to one of its bases, the prism is called a truncated right triangular prism. Given that 1=A is the area of the triangular prism's base, and the three heights 1=h1, 1=h2, and 1=h3, its volume can be determined in the following formula:

Schönhardt polyhedron is another polyhedron constructed from a triangular prism with equilateral triangle bases. This way, one of its bases rotates around the prism's centerline and breaks the square faces into skew polygons. Each square face can be re triangulated with two triangles to form a non convex dihedral angle. As a result, the Schönhardt polyhedron cannot be triangulated by a partition into tetrahedra. It is also that the Schönhardt polyhedron has no internal diagonals. It is named after German mathematician Erich Schönhardt, who described it in 1928, although the related structure was exhibited by artist Karlis Johansons 1=in 1921. There are 4 uniform compounds of triangular prisms. They are compound of four triangular prisms, compound of eight triangular prisms, compound of ten triangular prisms, compound of twenty triangular prisms.

Қарым-қатынас политоптары

Үшбұрышты призма жартылай тұрақты политоптардың өлшемдік сериясының біріншісі болып табылады. Әрбір прогрессивті біркелкі политоп алдыңғы политоптың вертикаль фигурасы болып табылады. Торолд Госсэ бұл тізбекті 1900 жылы барлық қарапайым политоптық аспектілерді қамтитын, барлық симплекстер мен ортоплекстерді (үшбұрышты призма жағдайында теңбұрышты үшбұрыштар мен шаршыларды) қамтитын деп анықтады. Коксетер белгісінде үшбұрышты призмаға -121 символы беріледі.