Triangular prism

Введение

Призма с трехсторонним основанием оптическая призма В геометрии треугольная призма или треугольная призма - это призма с двумя треугольными основаниями. Если края сочетаются с вершиной каждого треугольника и если они перпендикулярны основанию, это прямоугольная треугольная призма. Правоугольная треугольная призма может быть как полурегулярной, так и равномерной. Треугольная призма может быть использована для построения другого многогранника. Примерами являются некоторые твердые тела Джонсона, укороченная прямоугольная призма и полиедр Шонхарда.

Свойства

У треугольной призмы 6 вершин, 9 краев и 5 сторон. Каждая призма имеет 2 одинаковых лица, известных как ее основания, а основания треугольной призмы - треугольники. У треугольника 3 вершины, каждая из которых соединяется с вершиной другого треугольника, образуя еще 3 края. Эти края образуют 3 параллелограмма, как и другие лица. Если края призмы перпендикулярны основанию, боковые стороны - прямоугольники, и призма называется прямоугольной треугольной. Эта призма также может рассматриваться как особый случай клина. Если основание равностороннее, а боковые стороны квадратные, то правая треугольная призма полурегулярная. Полурегулярная призма означает, что число краев ее многоугольной основы равно числу ее квадратных сторон. В более общем смысле треугольная призма однородна. Это означает, что треугольная призма имеет регулярные стороны и имеет изогональную симметрию на вершинах. Трехмерная симметрическая группа прямоугольной треугольной призмы - это диэдрическая группа 1 = D3h порядка 12: внешний вид остается неизменным, если треугольную призму повернуть на одну и две трети полного угла вокруг своей оси симметрии, проходящей через основание центра и отражающейся через горизонтальную плоскость. Двойной полиэдр треугольной призмы - это треугольная бипирамида. Треугольная бипирамида имеет ту же симметрию, что и треугольная призма. Диэдрический угол между двумя прилегающими квадратами - это внутренний угол равностороннего треугольника, а угол между квадратом и треугольником - это объем любой призмы, произведённый из площади основания и расстояния между двумя основаниями. В случае треугольной призмы ее основание - треугольник, поэтому ее объем можно рассчитать, умножив площадь треугольника и длину призмы: где b - длина одной из сторон треугольника, h - длина высоты, нарисованной на эту сторону, и l - расстояние между треугольными сторонами. В случае прямоугольной треугольной призмы, где все ее края равны по длине 1=l, ее объем можно рассчитать как произведение площади равностороннего треугольника и длины 1=l: Треугольная призма может быть представлена как график призма. Более обще, график призма представляет боковую призму.

A triangular prism has 6 vertices, 9 edges, and 5 faces. Every prism has 2 congruent faces known as its bases, and the bases of a triangular prism are triangles. The triangle has 3 vertices, each of which pairs with another triangle's vertex, making up another 3 edges. These edges form 3 parallelograms as other faces. If the prism's edges are perpendicular to the base, the lateral faces are rectangles, and the prism is called a right triangular prism. This prism may also be considered a special case of a wedge. If the base is equilateral and the lateral faces are square, then the right triangular prism is semiregular. A semiregular prism means that the number of its polygonal base's edges equals the number of its square faces. More generally, the triangular prism is uniform. This means that a triangular prism has regular faces and has an isogonal symmetry on vertices. The three dimensional symmetry group of a right triangular prism is dihedral group 1=D3h of order 12: the appearance is unchanged if the triangular prism is rotated one and two thirds of a full angle around its axis of symmetry passing through the center's base, and reflecting across a horizontal plane. The dual polyhedron of a triangular prism is a triangular bipyramid. The triangular bipyramid has the same symmetry as the triangular prism. The dihedral angle between two adjacent square faces is the internal angle of an equilateral triangle , and that between a square and a triangle is
The volume of any prism is the product of the area of the base and the distance between the two bases. In the case of a triangular prism, its base is a triangle, so its volume can be calculated by multiplying the area of a triangle and the length of the prism:

where b is the length of one side of the triangle, h is the length of an altitude drawn to that side, and l is the distance between the triangular faces. In the case of a right triangular prism, where all its edges are equal in length 1=l, its volume can be calculated as the product of the equilateral triangle's area and length 1=l:

The triangular prism can be represented as the prism graph More generally, the prism graph represents the sided prism.

В конструкции полиэдра

Помимо треугольной бипирамиды как двойного многогранника, много других многогранников связаны с треугольной призмой. Твердое тело Джонсона - это выпуклое многогранное тело с регулярными лицами, и это определение иногда опускается для однородных многогранников, таких как Архимедово тело, каталонское тело, призмы и антипризмы. Существует 6 твердых тел Джонсона с их конструкцией, включающей треугольную призму: удлиненная треугольная пирамида, удлиненная треугольная бипирамида, гиробифастигиум, увеличенная треугольная призма, двуугментованная треугольная призма и триугментованная треугольная призма. Удлиненная треугольная пирамида и гироудлиненная треугольная пирамида построены путем прикрепления тетраэдра к основанию треугольной призмы. Увеличенная треугольная призма, двуувеличенная треугольная призма и треугольная триугольная призма построены путем прикрепления равносторонних квадратных пирамид к квадратной поверхности призмы. Гиробифастигиум построен путем прикрепления двух треугольных призмов вдоль одной из его квадратных сторон. Обрезанная треугольная призма - треугольная призма, построенная путем обрезания ее части под наклонным углом. В результате, две основания не параллельны, и каждая высота имеет разную длину края. Если края, соединяющие основания, перпендикулярны одной из его основ, призма называется обрезанной прямоугольной треугольной призмой. Учитывая, что 1=A - площадь основания треугольной призмы, а три высоты 1=h1, 1=h2 и 1=h3, ее объем можно определить по следующей формуле: Полиэдр Шенхарда - это другой полиэдр, построенный из треугольной призмы с равносторонними треугольными основаниями. Таким образом, одна из его основ вращается вокруг центральной линии призмы и разбивает квадратные стороны на скошенные многоугольники. Каждое квадратное лицо может быть перетреуголировано двумя треугольниками, чтобы сформировать невыпуклый двугранный угол. В результате полиэдр Шонхарда не может быть треуголен разделом на тетраэдры. Также многогранник Шенхарда не имеет внутренних диагоналей. Он назван в честь немецкого математика Эриха Шонхарда, который описал его в 1928 году, хотя соответствующая структура была выставлена художником Карлисом Йохансонсом 1= в 1921 году. Существует 4 однородных соединения треугольных призмов. Они состоят из четырех треугольных призмов, восьми треугольных призмов, десяти треугольных призмов, двадцати треугольных призмов.

Beyond the triangular bipyramid as its dual polyhedron, many other polyhedrons are related to the triangular prism. A Johnson solid is a convex polyhedron with regular faces, and this definition is sometimes omitted uniform polyhedrons such as Archimedean solids, Catalan solids, prisms and antiprisms. There are 6 Johnson solids with their construction involving the triangular prism: elongated triangular pyramid, elongated triangular bipyramid, gyrobifastigium, augmented triangular prism, biaugmented triangular prism, and triaugmented triangular prism. The elongated triangular pyramid and the gyroelongated triangular pyramid are constructed by attaching tetrahedron onto the base of a triangular prism. The augmented triangular prism, biaugmented triangular prism, and triaugmented triangular prism are constructed by attaching equilateral square pyramids onto the square face of the prism. The gyrobifastigium is constructed by attaching two triangular prisms along one of its square faces. A truncated triangular prism is a triangular prism constructed by truncating its part at an oblique angle. As a result, the two bases are not parallel and every height has a different edge length. If the edges connecting bases are perpendicular to one of its bases, the prism is called a truncated right triangular prism. Given that 1=A is the area of the triangular prism's base, and the three heights 1=h1, 1=h2, and 1=h3, its volume can be determined in the following formula:

Schönhardt polyhedron is another polyhedron constructed from a triangular prism with equilateral triangle bases. This way, one of its bases rotates around the prism's centerline and breaks the square faces into skew polygons. Each square face can be re triangulated with two triangles to form a non convex dihedral angle. As a result, the Schönhardt polyhedron cannot be triangulated by a partition into tetrahedra. It is also that the Schönhardt polyhedron has no internal diagonals. It is named after German mathematician Erich Schönhardt, who described it in 1928, although the related structure was exhibited by artist Karlis Johansons 1=in 1921. There are 4 uniform compounds of triangular prisms. They are compound of four triangular prisms, compound of eight triangular prisms, compound of ten triangular prisms, compound of twenty triangular prisms.

Связанные политопы

Треугольная призма является первой в серии полурегулярных политопов. Каждый прогрессивный однородный политоп является фигурой вершины предыдущего политопа. Торольд Госсет определил этот ряд в 1900 году как содержащий все регулярные политопные фасеты, содержащие все симплексы и ортоплексы (равносторонние треугольники и квадраты в случае треугольной призмы). В коксетерской нотации треугольной призму присваивается символ -121.