60° ромбтармен жазықтықтың мозаикасы

Кіріспе

Геометрияда ромбиль мозаикасы, сондай-ақ құлап жатқан блоктар деп те аталады. Ромбиль мозаикасын алтыбұрышты мозаиканың бөлінісі ретінде қарастыруға болады, мұнда әрбір алтыбұрыш үш ромбқа бөлінеді, олар алтыбұрыштың орталық нүктесінде түйіседі. Бұл бөлініс тұрақты қосымша мозаиканы көрсетеді. Оны төрт алтыбұрышты мозаиканың бөлінісі ретінде де қарастыруға болады, мұнда әрбір алтыбұрыш 12 ромбқа бөлінеді. Әрбір ромбтың диагональдары 1: қатынаста болады. Бұл үшбұрышты мозаиканың немесе кагоме тордың қос мозаикасы. Біркелкі мозаиканың қос түрі ретінде ол он бір мүмкін Лавес мозаикаларының бірі болып табылады, ал моногедральді мозаикалар үшін беттік конфигурацияда ол [3.6.3.6] деп белгіленеді. Ол сондай-ақ төртбұрыштардың 56 ықтимал изогедральді мозаикаларының бірі және әрбір қабырғасы мозаиканың симметрия осында жатқан жазықтықтың сегіз мозаикасының бірі. Ромбиль мозаикасын x + y + z ≤ 1 нүктелері бар (x, y, z) нүктелерінен тұратын үш өлшемді бүтін сандар торының ішкі жиынына ендіруге болады, егер және тек егер сәйкес тор нүктелері бір-бірінен бірлік қашықтықта болса, және тіпті одан да қаттырақ, егер мозаиканың кез келген екі нүктесі арасындағы ең қысқа жолдағы қабырғалар саны сәйкес тор нүктелері арасындағы Манхэттен қашықтығына тең болса. Осылайша, ромбиль мозаикасын шексіз бірлік қашықтық графы және ішінара текше ретінде қарастыруға болады.

Көркемдік және сәндік қолдану

Ромбильді плитканы екі түрлі жолмен текшелер жиынтығының изометриялық проекциясы ретінде қарастыруға болады, бұл Некер текшесімен байланысты кері фигураны құрайды. Осыған байланысты бұл «кері кубтар» иллюзиясы деп аталады. М.С. Эшердің «Метаморфоза I», «Метаморфоза II» және «Метаморфоза III» туындыларында Эшер осы плитканың интерпретациясын екі және үш өлшемді нысандар арасында морфинг жасау үшін пайдаланады. Оның тағы бір туындысы, «Цикл» (1938) жұмысында, Эшер осы плитканың екі және үш өлшемділігі арасындағы кернеумен ойнайды: онда ол архитектуралық элементтер ретінде үлкен кубикалық блоктары (изометриялық түрде салынған) және ромбильді плиткамен жабылған жоғарғы қабаттағы ауласы бар ғимаратты бейнелейді. Адам фигурасы ауладан төмен түсіп, кубтардың басынан өтеді, осы процесте стильделіп, екі өлшемді болып көрінеді. Бұл туындылар плитканың бір ғана үш өлшемді интерпретациясын қамтиды, бірақ «Дөңес және ойыс» жұмысында Эшер кері фигуралармен тәжірибе жасап, көріністегі тудың үстіндегі кері кубтар иллюзиясын бейнелейді. Ромбильді плитка паркетке, еденге немесе қабырғаға арналған дизайн ретінде де қолданылады, кейде оның ромбтарының пішіндері өзгеріп отырады. Бұл үлгі Делостағы ежелгі грек мозаикаларында және 11 ғасырдан қалған итальяндық еден плиткаларында кездеседі, бірақ Сиена соборындағы осы үлгідегі плиткалар салыстырмалы түрде жақында жасалған. Тігісте (квилтинг) 1850 жылдан бері бұл үлгі «құлап бара жатқан блоктар» деп белгілі, бұл оның екі еселенген үш өлшемді интерпретациясынан туындаған визуалды диссонансқа сілтеме жасайды. Бұл үлгінің «кубтық жұмыс», «аспандық баспалдақ» және «Пандораның қорабы» сияқты көптеген басқа да аттары бар. Мұндай декоративтік қолдануда ромбтар әртүрлі түстерде болуы мүмкін, бірақ әдетте үш деңгейлі көлеңке беріледі: көлденеңі ұзын диагональдары бар ромбтар үшін ең жарық, ал қалған екі бағыттағы ромбтар үшін қараңғырақ, осылайша олардың үш өлшемді көрінісі күшейтіледі. Ағылшыз геральдикасында Гел/е елтаңбасында ромбильді және үшбұрышты плитканың бір ғана белгілі мысалы бар.

The rhombille tiling can be interpreted as an isometric projection view of a set of cubes in two different ways, forming a reversible figure related to the Necker Cube. In this context it is known as the "reversible cubes" illusion. In the M. C. Escher artworks Metamorphosis I, Metamorphosis II, and Metamorphosis III Escher uses this interpretation of the tiling as a way of morphing between two and three dimensional forms. In another of his works, Cycle (1938), Escher played with the tension between the two dimensionality and three dimensionality of this tiling: in it he draws a building that has both large cubical blocks as architectural elements (drawn isometrically) and an upstairs patio tiled with the rhombille tiling. A human figure descends from the patio past the cubes, becoming more stylized and two dimensional as he does so. These works involve only a single three dimensional interpretation of the tiling, but in Convex and Concave Escher experiments with reversible figures more generally, and includes a depiction of the reversible cubes illusion on a flag within the scene. The rhombille tiling is also used as a design for parquetry and for floor or wall tiling, sometimes with variations in the shapes of its rhombi. It appears in ancient Greek floor mosaics from Delos and from Italian floor tilings from the 11th century, although the tiles with this pattern in Siena Cathedral are of a more recent vintage. In quilting, it has been known since the 1850s as the "tumbling blocks" pattern, referring to the visual dissonance caused by its doubled three dimensional interpretation. As a quilting pattern it also has many other names including cubework, heavenly stairs, and Pandora's box. In these decorative applications, the rhombi may appear in multiple colors, but are typically given three levels of shading, brightest for the rhombs with horizontal long diagonals and darker for the rhombs with the other two orientations, to enhance their appearance of three dimensionality. There is a single known instance of implicit rhombille and trihexagonal tiling in English heraldry – in the Geal/e arms.

Басқа қолданбалар

Ромбильді плитканы екі түрлі алтыбұрышты плитканы біріне-бірі үйлестіру нәтижесінде қарастыруға болады, мұнда бір плитканың кейбір төбелері екінші плитканың алтыбұрыштар ортасында орналасады. Осылайша, ол блок-клеткалық автоматтарды анықтау үшін қолданылуы мүмкін, онда автоматтың жасушалары ромбильді плитканың ромбтары болып табылады, ал автоматтың кезектесіп келетін қадамдарындағы блоктар екі үйлестірілген алтыбұрышты плитканың алтыбұрыштарынан тұрады. Бұл жағдайда, ол "Q*bert аймағы" деп аталады, бұл атау Q*bert видео ойынынан алынған, онда ойын алаңы ретінде кубтар пирамидасының изометриялық бейнесі көрсетілген. Q*bert аймағы бильярд шарлары компьютерлік симуляциясы арқылы әмбебап есептеуді қолдау үшін пайдаланылуы мүмкін. Конденсацияланған материя физикасында ромбильді плитка "құлақ тор", "дәйірленген тор" немесе "қос Кагоме тор" деп аталады. Ол Изинг модельдерін және диатомдық кристалдардағы спиндік өзара әрекеттесудің ұқсас жүйелерін зерттеу үшін қолданылатын бірнеше қайталанатын құрылымдардың бірі болып табылады, сонымен қатар ол сіңіру теориясында да зерттелді.

Байланысты полиэдрлер мен плиткалар

Ромбильдік плитка – үшбұрышты плитканың қос түрі. Бұл жазықтықты түйісулі ромбтар арқылы кесудің көптеген әдістерінің бірі. Басқаларына ромбының барлық төрт жағында трансляциялық симметриямен квадраттық плитканың диагональ бойынша жалпақталған түрі, Миура ори бүктеу үлгісіндегі (трансляциялық және көрістік симметрияны кезектестіретін) плитка, сондай-ақ 36° және 72° бұрыштары бар екі түрлі ромбты апериодты пайдаланатын Пенроуз плиткасы жатады. Егер бірден көп түрлі ромбтарға рұқсат берілсе, қосымша плиткалар пайда болады, олардың кейбіреулері ромбильдік плиткаға топологиялық тұрғыдан тең, бірақ симметриясы төмен болуы мүмкін. Ромбильдік плиткаға комбинаторлық тұрғыдан тең плиткаларды параллелограммдар арқылы да жүзеге асыруға болады және оларды үш өлшемді кубтық сатылардың аксонометриялық проекциялары ретінде қарастыруға болады. Жазықтықтың кез келген плиткасын оның кез келген қабырғасынан көшіру арқылы басқа плитканы алуға болатын, тек сегіз шеттік кескіндемелер бар; олардың бірі – ромбильдік плитка.