Введение

Плитка плоскости с 60° ромбами

В геометрии, ромбильная плитка, также известная как «румбы» или «падающие блоки»,]]
Ромбильную плитку можно рассматривать как подразделение шестиугольной плитки, где каждый шестиугольник разделен на три ромба, сходящихся в центральной точке шестиугольника. Это подразделение представляет собой регулярную составную плитку. Её также можно рассматривать как подразделение четырех шестиугольных плиток, где каждый шестиугольник разделен на 12 ромбов. Отношение длин диагоналей каждого ромба равно 1:√3. Это двойственная плитка к трехугольной плитке или решетке Кагоме. Как двойственная к однородной плитке, она является одной из одиннадцати возможных плиток Лавеса и обозначается [3.6.3.6] в конфигурации граней для моноэдральных плиток. Она также является одной из 56 возможных изоэдральных плиток квадратиками и одной из всего восьми плиток плоскости, в которой каждая сторона лежит на линии симметрии плитки. Возможно встроить ромбильную плитку в подмножество трехмерной целочисленной решетки, состоящей из точек (x, y, z) с |x + y + z| ≤ 1, таким образом, что две вершины смежны тогда и только тогда, когда соответствующие точки решетки находятся на расстоянии единицы друг от друга, и, более строго, чтобы число ребер на кратчайшем пути между любыми двумя вершинами плитки было таким же, как расстояние Манхэттена между соответствующими точками решетки. Таким образом, ромбильную плитку можно рассматривать как пример бесконечного графа единичных расстояний и частичного куба.

Художественные и декоративные применения

Ромбильная плитка может быть интерпретирована как изометрическая проекция набора кубов двумя различными способами, образуя обратимую фигуру, связанную с кубом Некера. В этом контексте она известна как иллюзия «обратимых кубов». В произведениях М. К. Эшера «Метаморфозы I», «Метаморфозы II» и «Метаморфозы III» Эшер использует эту интерпретацию плитки как способ перехода между двухмерными и трехмерными формами. В другой своей работе, «Цикл» (1938), Эшер играет с напряжением между двумерностью и трехмерностью этой плитки: в ней он изображает здание, в котором в качестве архитектурных элементов присутствуют большие кубические блоки (нарисованные изометрически), а также верхняя терраса, облицованная ромбильной плиткой. Человеческая фигура спускается с террасы мимо кубов, постепенно становясь более стилизованной и двумерной. Эти работы используют только одну трехмерную интерпретацию плитки, но в работах «Выпуклость и вогнутость» Эшер экспериментирует с обратимыми фигурами в более широком смысле и включает изображение иллюзии обратимых кубов на флаге в сцене. Ромбильная плитка также используется в качестве дизайна для паркета и для облицовки пола или стен, иногда с вариациями формы ромбов. Она встречается в древнегреческих мозаиках пола из Делоса и в итальянской напольной плитке XI века, хотя плитки с этим узором в Сиенском соборе относятся к более позднему времени. В лоскутном шитье она известна с 1850-х годов как узор «качающиеся блоки», что отсылает к визуальному диссонансу, вызванному её двойной трехмерной интерпретацией. Как узор для лоскутного шитья она также имеет множество других названий, включая «кубические работы», «небесные лестницы» и «ящик Пандоры». В этих декоративных применениях ромбы могут быть выполнены в нескольких цветах, но обычно им придают три уровня затенения: самый светлый – для ромбов с горизонтальными длинными диагоналями и более темный – для ромбов с двумя другими ориентациями, чтобы усилить эффект трехмерности. Известен единственный случай использования ромбильной и тригексагональной плитки в английской геральдике – в гербе Гилл/е.

Другие применения

Ромбильная мозаика может рассматриваться как результат наложения двух различных шестиугольных мозаик, сдвинутых так, что некоторые вершины одной мозаики попадают в центры шестиугольников другой мозаики. Таким образом, её можно использовать для определения блочных клеточных автоматов, в которых ячейками автомата являются ромбы ромбильной мозаики, а блоками на чередующихся шагах автомата – шестиугольники двух наложенных шестиугольных мозаик. В этом контексте она называется "окрестностью Q*bert" по аналогии с видеоигрой Q*bert, в которой в качестве игрового поля использовалось изометрическое представление пирамиды из кубов. Окрестность Q*bert может быть использована для реализации универсальных вычислений посредством моделирования компьютеров на шарах. В физике конденсированного состояния ромбильная мозаика известна как решетка кубиков, кубическая решетка или двойная решетка Кагоме. Это одна из нескольких повторяющихся структур, используемых для исследования моделей Изинга и связанных с ними систем спиновых взаимодействий в двухатомных кристаллах, и она также изучалась в теории перколяции.

Связанные полиэдра и плитки

Ромбильная мозаика является двойственной к тригексагональной мозаике. Это один из множества различных способов мощения плоскости конгруэнтными ромбами. Другие включают диагонально сжатую вариацию квадратной мозаики (с трансляционной симметрией по всем четырем сторонам ромбов), мозаику, используемую в узоре складывания Миура-ори (чередующую трансляционную и зеркальную симметрию), и мозаику Пенроуза, которая использует два типа ромбов с острыми углами 36° и 72° апериодически. Если допускается более одного типа ромба, возможны дополнительные мозаики, включая некоторые, топологически эквивалентные ромбильной мозаике, но с более низкой симметрией. Мозаики, комбинаторно эквивалентные ромбильной мозаике, также могут быть реализованы параллелограммами и интерпретированы как аксонометрические проекции трехмерных кубических ступеней. Существует всего восемь краевых мозаик, мозаик плоскости, обладающих свойством, что отражение любой плитки относительно любой из её сторон порождает другую плитку; одна из них – ромбильная мозаика.